2011開成中学算数大問２を解いてみた

　問題はすでにアップしているので（確認したい方はコチラ をクリック），自分が解いた過程を紹介していきます。

ニュートン算は，x，y，aなど文字を使って連立方程式を使って解いた方が早いのですが，中学受験生対象なので自重します。

（１）　券売機１台あたり１分で処理できる人数を丸１とおく。

５台，２０分で処理できる人数は丸１００。また，６台，１５分で処理できる人数は丸９０。

丸１００－丸９０＝丸１０・・・この値は５分間に並んだ人数の差。

よって，１分間に並ぶ人数は，丸１０÷５＝丸２

ここで，最初行列に並んでいた人数を考える。

「５台，２０分」・・・１分あたり券売機が処理できる人数は丸５。そのうち新規にやってくる丸２を先に処理すれば，行列していた人を，１分あたり丸３だけ処理できる。よって，丸３×２０＝丸６０・・・最初の行列の人数

念のため「６台，１５分」・・・１分あたり券売機が処理できる人数は丸６。そのうち新規にやってくる丸２を先に処理すれば，行列していた人を，１分あたり丸４だけ処理できる。よって，丸４×１５＝丸６０・・・最初の行列の人数

　ここで，「７台，１０分」・・・１分あたり券売機が処理できる人数は丸７。そのうち新規にやってくる丸２を先に処理すれば，行列していた人を，１分あたり丸５だけ処理できる。よって，丸５×１０＝丸５０

　ところが，この人数は最初より５０人少なかったわけだから，

　丸６０－丸５０＝５０

よって，丸１＝５人とわかり，最初の行列の人数は，５人×６０＝３００（人）

（２）最初の行列は３００人，券売機１台あたり１分で処理できる人数は５人，１分ごとに行列に加わる人は１０人。

最初から券売機を１０台使うと，５×１０－１０＝４０（人）だけ，１分ごとに行列を減らすことができる。

よって，３００÷４０＝７．５　だから７分３０秒。

　面白くない。

注意：コメントをすべて読んでくださいね。定石のチェックとして有効な作業はここまで。「解の吟味」により，「７分３０秒」は間違いであるという指摘もいただいてます！

2011年開成中学算数大問２

　大問３について問題と解法をアップしてみたのですが，アクセス解析を見てみると「大問２」の検索が圧倒的に多い（^^)。

　ということで，大問２の問題を紹介していきます。自分が解いた過程は別記事で紹介します。

　西山動物園では，開門前に長い行列ができていて，さらに，一定の割合で入園希望者が行列に加わっています。開門と同時に，券売機を５台使うと２０分で行列がなくなり，開門と同時に券売機を６台使うと１５分で行列がなくなります。また，もし開門のときの行列の人数が５０人少なかったとすると，券売機を７台使え１０分で行列がなくなります。

（１）開門のとき，行列の人数は何人でしたか。

（２）開門と同時に，券売機を10台使うと何分で行列がなくなりますか。

　進学塾に通っている生徒にとっては，なんていうこともないパターン問題でしょうか。高校入試においても，一定レベル以上の私立高校受験生であれば，必ず解いておかなければならないレベルのパターン問題です。

（２月２０日追記）定石の確認としてこの問題をとらえる限りでは，必ず解いておかなければならないレベルです（300人，7分30秒という解を得る作業まで）。ただし，この問題に関しては「解の吟味」によってパターン通りに求めた解が，適切ではないことが指摘されています。その反面，パターン通りに求めた値でも正解とするのではないかという指摘も届いており，正解を１通りに確定できない状態が本ブログにおいても生じております（大手塾の解答速報においても同様の事態となっているようです）。皆様から寄せられたコメントにはどれもうなづける部分があり，私ができることはそれらを皆様にお読みいただけるような状態で保つことしかありません。

　私の見解：開成中学がどの値をもって正解としているのか，現段階において私には確かめる術がありませんので，このブログにおきましては「開成中学からのコメントを待つ」というスタンスとさせていただきます。開成中学が何らかのコメントを発し，それが私の耳まで届いた段階で，このブログでも発信いたします。

　この問題の正解は，算数的・数学的にどうであろうと「開成中学が考える値」です。外野がワイワイ盛り上がったとしても，この事実が変わることはありません。私に対して「道義上の責任として正解を提示することを求める」御意見も頂戴しておりますが，現段階におきまして私から発信する情報は「パターン問題として処理する場合」に限らせていただきます。

今後開成中学がもしも公に情報を発信しなかった場合には，「永遠に正解は闇の中」であると私は考えております。現段階では，受験生各位におかれましては「パターン問題としての処理ができるかどうかの段階」の確認としてのみ，この問題に触れることをお勧めします。

2011開成中学算数大問３を解いてみた

　問題はすでに紹介済み（確認したい方はこちら をクリック）ですので，自分が解いた過程を紹介していくことにします。

（１）十野くん

　まず10円を支払う方法は，(10円，5円，1円）の順で，(1，0，0)(0，2，0)(0，1，10)(0，0，20)の4通り。これにより，1円の枚数ではなく5円の枚数にだけ注目すればよいことがわかる。

　20円を払う方法は，10円を2枚使う場合(1通り）と，10円を1枚使う場合（5円は2枚，1枚，0枚の3通り），10円を0枚使う場合（5円は4枚～0枚の5通り）があるから，1＋3＋5＝9(通り）　となる。

　この要領で計算を進めると，70円支払う場合には，10円を7枚使う（1通り），6枚使う（5円は2枚～0枚の3通り），5枚使う（5円は4枚～0枚の5通り），・・・，0枚使う（5円は14枚～0枚の15通り）となるので，1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝64（通り）

　五十川くん

　50円を使わない払い方は，十野くんと同じだから64通り。50円を使う場合，残り20円の払い方は前述の「十野くん20円」と同じで9通り。よって，64＋9＝73(通り）

ここで，1からはじまる連続するn個の奇数の和が，1＋3＋5＋・・・＋(2n－1)＝nの2乗　であることを利用すると，十野くんと五十川くんの払い方は，下表のようになる。

（２）百山くんの170円の払い方

十野くん（10円，5円，1円）は「18の2乗＝324（通り）」。五十川くんの払い方は，50円を使わない324通りと，50円を3枚，2枚，1枚使う場合をそれぞれ加えて566通りとなる。百山くんの払い方は，100円を使わない566通りに，100円を一枚使って残り70円を払う（五十川くんが70円を払う場合と同じ！）73通りを加えればよい。よって，566＋73＝639(通り）

（３）下表より，190円の場合に題意を満たす。1円玉の払い方に複数の方法はないので，191円～194円の払い方も190円の払い方に等しい。よって，最小が190円，最大が194円。

	十野	五十川				百山
		50：１枚	50：２枚	50：3枚	合計	100：1枚	合計
10円	4
20円	9
30円	16
40円	25
50円	36	1			37
60円	49	4			53
70円	64	9			73
80円	81	16			97
90円	100	25			125
100円	121	36	1		158	1	159
110円	144	49	4		197	4	201
120円	169	64	9		242	9	251
130円	196	81	16		293	16	309
140円	225	100	25		350	25	375
150円	256	121	36	1	414	37	451
160円	289	144	49	4	486	53	539
170円	324	169	64	9	566	73	639
180円	361	196	81	16	654	97	751
190円	400	225	100	25	750	125	875

硬貨の払い方を表にまとめてみると，数字の増え方に規則性があることがわかります。自分で書き出して調べながら，この規則性をすばやく発見していくことが必要です。

　この手の問題では「どの公式，その解き方を使おうか」と考える前に，「とりあえず書き出して調べよう」という姿勢が重要です。中学生になって文字を扱うようになると，この姿勢が失われていきます・・・。

　

2011年開成中学算数大問３

　とりあえず問題を紹介します。おヒマな方はチャレンジしてください。

正解（とされているもの）は，スクロールすれば見られるように下部に表記してます。

私が解いた過程は別記事で紹介していくことにします。

十野くんは1円硬貨と5円硬貨と10円硬貨を，

五十川くんは1円硬貨と5円硬貨と10円硬貨と50円硬貨を，

百山くんは1円硬貨と5円硬貨と10円硬貨と50円硬貨と100円硬貨を，

それぞれたくさんもっている。

例えば，十野くんが20円を支払うとき，硬貨の組み合わせは9通りある。

（１）十野くん，五十川くんが70円を支払うとき，硬貨の組み合わせはそれぞれ何通りあるか。

（２）百山くんが170円を支払うとき，硬貨の組み合わせは何通りあるか。

（３）ある金額を百山くんが支払うとき，硬貨の組み合わせが875通りであった。その金額を五十川くんが支払うとき，硬貨の組み合わせは何通りあるか。また，そのような金額のうち，最大のものと最小のものをそれぞれ答えよ。

　時間をタップリ与えて調べる環境を用意してあげれば，小学生でも十分にチャレンジできる問題です。「面倒くさい」「意味不明」などと言って，考えたり調べたりさえためらう大人は，脳の老化が始まっているかも（笑）。

ちなみに，他の問題はといえば，

大問２は，難関高校入試でも頻出のニュートン算

大問４は，これまた難関高校入試でもおなじみ，立体の切断

ということで，「算数らしさ」が感じられない問題が多かった，今年の開成中でした。

頭の固い人は，このあたりからやり直し・・・ですかね!?

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正解

（１）十野：64通り　五十川：73通り

（２）639通り

（３）750通り　最大：194円　最小：190円

合格祈願

太宰府に来てます。次男の合格祈願はもちろん、私が関わる全ての受験生の祈願をしてきました。

携帯からの投稿なので写真の縦横変換がうまくいきませんが、こんな感じで雪の中行ってきました。

受験生の皆さん、風邪に気をつけてベストを尽くしてください。吉報を待ってます！