三角関数微分 位相

三角関数の微分は、
物理でいうところの“位相”を使って、書ける。

　　高校物理の教科書か参考書で、
　　　　波の方程式のところを見てみましょう。








ｎ階導関数を書かないといけないときは、
位相を使った表現の方が簡単ですね。

証明は、
ｎ＝１，２，３，４のときは、一個一個、単位円を見ながら確かめます。
ｎ＝４でもとに戻り、あとは繰り返しになるので、
ｎ≧５のときは、明らかです。あえて言うなら帰納法。。

数域半径 Ａｘ・ｘ

入試問題で、

　Ａを２次正方行列、ｘを２次元ベクトルとして、
　　　Ａｘ・ｘ
　がなんたらかんたら・・・

という問題を見たことはいないだろうか？

筆者は、その昔受験生だった頃、一度これに出くわし、
珍しく行列の抽象的な（代数的な）問題だ！と感動するとともに、
なんでこんなものを考えるんだろう？と疑問に感じた。

行列を作用させたやつ（Ａｘ）と、作用させる前のやつ（ｘ）の
内積である。

なかなかきれいな形であるが、なにを意味するのかはよくわからない。


大学に入って、線形代数を勉強していたら、教科書に出てきた。
“二次形式”の章に出てきた。たとえば、



のようなもので、
行列Ａは、右辺の多項式を表していると考えられる。。
行列を使って、２次式を系統的に扱えないかという話である。



なんだけど、
今回は、
Ａｘ・ｘを“二次形式”としてではなく、
“数域半径”と見て簡単な不等式を示す。

“数域半径”とは、

　ｘの大きさが１のときの、|Ａｘ・ｘ|の最大値

のことである。もちろん、Ａは固定している。「|　|」は絶対値。
上で見たように、Ａｘ・ｘは、ｘとｙの２次式だから最大値があるはずである。
２次式ｚ＝Ａｘ・ｘのグラフは、三次元空間（ｘ軸、ｙ軸、ｚ軸！）の中の曲面になる。
このグラフのうち、ｘｙ平面の単位円の真上にあるところでのｚの最大値というわけ。



うまく描けてないけど、上図で、緑色のネットがｚ＝Ａｘ・ｘグラフ。
青色は、ｘｙ平面上の単位円（ｘの大きさが１なところ！）と
グラフ上でその真上にあたるところ。ここでのｚの最大値が数域半径である。

数域半径は英語では、numerical radious。
“数域”というのが何を意味するのか、筆者は今のところよくわかっていません。

しかし、たとえば、
Ａとして、回転行列Ｒ(θ)を考えると、
|ｘ|＝１のとき、Ｒ(θ)ｘ・ｘ＝cosθだから、
数域半径はcosθとなる。（行列は固定しているからθも固定されていることに注意！）
このことから、数域半径というのは、
ｘがＡによって“どれくらい振られるか”を表しているらしいことがわかる。
最大値を考えることによって、いわば最大振幅を求めているわけである。
ｘの大きさを１にしているのは、ｘが好き放題でかくなると、
Ａｘ・ｘもどんどんでかくなって、∞になってしまうのを防ぐためだろう。と推測できる。


一般には、“数域半径”と呼ばれているけど、
以上のことから、我々は、これを行列Ａの“振幅”と呼びたい。

行列Ａの振幅を表す記号を導入しよう。
振幅は（今調べたら）英語でamplitudeだった。
頭文字のaを採りたいところだが、Ａと紛らわしい気がするので、
記号だけは、一般の数域半径のものを借りよう。

　　ｗ(Ａ)＝（|Ａｘ・ｘ|の|ｘ|＝１における最大値）

とする。カッコよく書いたら、



なんでｗかは不明だが（波waveのwか？）、こないだから
たびたび登場してる『日合、柳』でもｗである。



さて、
この記事の目標は、不等式



を証明することである。

――これは、『日合、柳』では練習問題になっている・・・

が、||Ａ||とはいったいなんのか。
絶対値は縦棒一本“｜”だったが、これは、縦棒二本“||”。

これは、行列Ａの“ノルム”といって、Ａの“倍率”のようなもの。
とりあえず、“倍率”と呼ぶことにしよう。

　　（　次から次へと説明ばかり。。

倍率とはどういうものか、式で書くと



である。確かに、「もとのｘの大きさに対して、Ａｘの大きさはどれだけですか」
という“割合”を表していて、まさに倍率である。
ちょっと考えると、次のようにも書けることがわかる。



これで、だいたい準備はできた。

さっきの不等式を証明しよう。

ただし、
次のことは、証明なしに認めることにする。

　　Ａがエルミート行列のとき、ｗ(Ａ)＝||Ａ||

すごいじゃないか！エルミート行列！
振幅と倍率の一致！

エルミート行列がなんなのか分からない人は、
まあ「行列のエリート」とでも思っておいて下さい。
また、いつか、記事にしたいと思います。


しかし、ここに来て、やはり、
いろいろ「前提知識」がいることがわかってきた。
証明を書いても、はっきりいって、
高校数学の知識で、全部をしっかり理解するのは無理である。

というわけで、証明を期待しておられた方には、
ここまで読んでいただいたのに申し訳ないが、
証明は、“概略”だけを書くことにする。ごめんなさい。



まず、

　　ｗ(Ａ)≦||Ａ||

の証明であるが、
コーシー・シュワルツの不等式（２次元ならｘ・ｙ＝|ｘ||ｙ|cosθからわかる）を
使えばできる。

　|Ａｘ・ｘ|≦|Ａｘ|・|ｘ|≦||Ａ||・|ｘ|・|ｘ|

一つ目の≦がコーシー・シュワルツ不等式。
二つ目の≦は、倍率の意味（定義）をよーく考えるとできます。
今、|ｘ|＝１として考えているので、

　|Ａｘ・ｘ|≦||Ａ||　（|ｘ|＝１なるすべてのｘで成立。）

ということは、

　ｗ(Ａ)＝max|Ａｘ・ｘ|≦||Ａ||


次に、

　||Ａ||≦２ｗ(Ａ)

の証明。
これは、概略だけ示す。
こないだの記事で出てきた、デカルト分解を使うと、

　Ａ＝Ｓ＋ｉＴ　（Ｓ、Ｔはエルミート行列）

と書けるのだった。これより、

　||Ａ||≦||Ｓ||＋||Ｔ||＝ｗ(Ｓ)＋ｗ(Ｔ)≦ｗ(Ａ)＋ｗ(Ａ)

一つ目の≦は、倍率の定義と、ベクトルの三角不等式から出る。
＝は、エルミート行列では、倍率と振幅が同じだから。
二つ目の≦は、振幅の定義と、複素数の三角不等式から出る。

よって、



が証明された。（概略だけど。）



さて、
注意しておきたいことがある。

それは、デカルト分解を使ったとき、虚数ｉを使ったことだ。

高校では、行列とかベクトルといったら、ふつう成分は実数だったが、
ｉＴをとかを扱う以上、行列のスカラー倍の定義より、
ｉが行列Ｔの中に入ってもいいことになる。
つまり、成分として、複素数を許さなければならない。

実は、上の証明では、
実数の２次元空間ではなく、複素数の２次元空間で議論している。

したがって、実数の空間で上の不等式は成り立つことは証明されていない。
（し、実際、実数の空間の場合、不等式が成り立たないことがある。）

あと、
上の証明は、３次元以上、というか無限次元でも成り立つ。
行列といわず、一般に“作用素”で通用する。



今回の記事の、もっと詳しく考えたいところを
「問題」としてまとめておこう。


＜問題＞

（１）二次形式の話１。
　Ａｘ・ｘ＝（ｘ＋ｙ）^2
となるためには、Ａをどんな行列にすればよいか。

（２）二次形式の話２。
この記事では、２次正方行列Ａと２次元ベクトルｘによって、
Ａｘ・ｘがｘ、ｙの２次式を表すことを見た。
ｘ、ｙ、ｚの３文字からなる２次式を表すためには、
どうすればよいだろうか。

（３）三次形式の話。
行列Ａとベクトルｘを使って、二次形式ならぬ
三次形式（ｘ、ｙの３次式）を表すためにはどうすればよいだろうか。


（４）振幅の話１。
実数の２次元空間では、
不等式ｗ(Ａ)≦||Ａ||≦２ｗ(Ａ)は、成り立つとは限らない。
成り立たないような２次正方行列Ａの例を挙げよ。

（５）振幅の話２。
複素数の２次元空間（つまり、成分が２つとも複素数）で考える。
不等式ｗ(Ａ)≦||Ａ||≦２ｗ(Ａ)において、
Ａがエルミート行列なら、左の≦が＝になることが知られている。
では、右の≦が＝になることもあるだろうか。
　　||Ａ||＝２ｗ(Ａ)
となるような２次正方行列Ａの例を挙げよ。


偉そうに、問題まで出してしましました。すみません。
５問とも筆者が実際に取り組んでみた問題です。
すべて答えがあります。（筆者の思い違いでなければ。）
（３）はちょっと変わってますが、（２）と併せて、
二次形式の“二”がどこから来るのか、という疑問に答える問題です。

複素数ZをA＋ｉBの形に表す

問題

複素数ｚが与えられた時、ｚを

　　ｚ＝a＋ib　（a，bは実数）

の形に表せ。



ｚが具体的にどんな複素数かわからないとき、
ｚの実部と虚部を求められるだろうか？


ちょっと実験。

ｚ＝a＋ib・・・①と書けたとしよう。
複素数らしく、ｚの複素共役ｚ*をとってやると、

　　　ｚ*＝a－ib　・・・②

である。①②をa，bに関する連立方程式だと思って、
解いてみると、
①＋②より、ｚ＋ｚ*＝2a
①－②より、ｚ－ｚ*＝2ib

したがって、

となる。


この実験から、

与えられたｚに対して、

を計算すれば、これらが、それぞれ
ｚの実部、虚部になるのではないかと期待される。

実際、これらの数をそれぞれ実部、虚部にもつ複素数ｗを考えると、

となり、ｗはｚに他ならない。

よって、ｚの実部、虚部は、確かに上で出てきた形に書ける。
問題の解答としては、

である。



ちなみに、
同じ方法で、行列の実部、虚部なるものを考えることが出来そうである。
ただし、行列の複素共役とはなんなのか、定義しておかなければならない。
成分が実数の場合は、「行列の複素共役とは転置のことである」とすると、
具合が良い。

実際、複素共役の著しい性質として、

というものがあるが、
転置を横ベクトルに適用して、同じ計算をすると、

となり、類似の関係が現れる。

これだけでは、転置を使う根拠がよくわからないかもしれないが、
今回は、これ以上続けない。



こないだ出てきた『ヒルベルト空間と線型作用素』（日合、柳）では、
この分解を「デカルト分解」と称している。
もっと簡単な本では、斎藤正彦の線型代数の本にも載っていると思う。
筆者が使っていた本には載ってなかった。
斎藤本は、二種類あるみたいだが、どちらでも載ってるでしょう。