三角関数微分　位相

三角関数の微分は、
物理でいうところの“位相”

を使って、書ける。

　　

高校物理の教科書か参考書で、
　　　　波の方程式のところを見てみましょう。

$\sin{x}\\ (\sin{x})'=\cos{x}=\sin\left (x+\frac{\pi}{2}\right )\\ (\sin{x})''=-\sin{x}=\sin\left (x+\pi\right )\\ (\sin{x})'''=\cos{x}=\sin\left (x+\frac{3}{2}\pi\right )\\ ...\\ (\sin{x})^{(n)}=?=\sin\left (x+\frac{n}{2}\pi\right )\\$

$\cos{x}\\ (\cos{x})'=-\sin{x}=\cos\left (x+\frac{\pi}{2}\right )\\ (\cos{x})''=-\cos{x}=\cos\left (x+\pi\right )\\ (\cos{x})'''=\sin{x}=\cos\left (x+\frac{3}{2}\pi\right )\\ ...\\ (\cos{x})^{(n)}=?=\cos\left (x+\frac{n}{2}\pi\right )\\$

ｎ階導関数を書かないといけないときは、
位相を使った表現の方が簡単ですね。

証明は、
ｎ＝１，２，３，４のときは、一個一個、単位円を見ながら確かめます。
ｎ＝４でもとに戻り、あとは繰り返しになるので、
ｎ≧５のときは、明らかです。あえて言うなら帰納法。。

三角関数微分 位相

三角関数微分　位相