入試問題で、
Ａを２次正方行列、ｘを２次元ベクトルとして、
Ａｘ・ｘ
がなんたらかんたら・・・
という問題を見たことはいないだろうか？
筆者は、その昔受験生だった頃、一度これに出くわし、
珍しく行列の抽象的な（代数的な）問題だ！と感動するとともに、
なんでこんなものを考えるんだろう？と疑問に感じた。
行列を作用させたやつ（Ａｘ）と、作用させる前のやつ（ｘ）の
内積である。
なかなかきれいな形であるが、なにを意味するのかはよくわからない。
大学に入って、線形代数を勉強していたら、教科書に出てきた。
“二次形式”の章に出てきた。たとえば、
のようなもので、
行列Ａは、右辺の多項式を表していると考えられる。。
行列を使って、２次式を系統的に扱えないかという話である。
なんだけど、
今回は、
Ａｘ・ｘを“二次形式”としてではなく、
“数域半径”と見て簡単な不等式を示す。
“数域半径”とは、
ｘの大きさが１のときの、|Ａｘ・ｘ|の最大値
のことである。もちろん、Ａは固定している。「| |」は絶対値。
上で見たように、Ａｘ・ｘは、ｘとｙの２次式だから最大値があるはずである。
２次式ｚ＝Ａｘ・ｘのグラフは、三次元空間（ｘ軸、ｙ軸、ｚ軸！）の中の曲面になる。
このグラフのうち、ｘｙ平面の単位円の真上にあるところでのｚの最大値というわけ。
うまく描けてないけど、上図で、緑色のネットがｚ＝Ａｘ・ｘグラフ。
青色は、ｘｙ平面上の単位円（ｘの大きさが１なところ！）と
グラフ上でその真上にあたるところ。ここでのｚの最大値が数域半径である。
数域半径は英語では、numerical radious。
“数域”というのが何を意味するのか、筆者は今のところよくわかっていません。
しかし、たとえば、
Ａとして、回転行列Ｒ(θ)を考えると、
|ｘ|＝１のとき、Ｒ(θ)ｘ・ｘ＝cosθだから、
数域半径はcosθとなる。（行列は固定しているからθも固定されていることに注意！）
このことから、数域半径というのは、
ｘがＡによって“どれくらい振られるか”を表しているらしいことがわかる。
最大値を考えることによって、いわば最大振幅を求めているわけである。
ｘの大きさを１にしているのは、ｘが好き放題でかくなると、
Ａｘ・ｘもどんどんでかくなって、∞になってしまうのを防ぐためだろう。と推測できる。
一般には、“数域半径”と呼ばれているけど、
以上のことから、我々は、これを行列Ａの“振幅”と呼びたい。
行列Ａの振幅を表す記号を導入しよう。
振幅は（今調べたら）英語でamplitudeだった。
頭文字のaを採りたいところだが、Ａと紛らわしい気がするので、
記号だけは、一般の数域半径のものを借りよう。
ｗ(Ａ)＝（|Ａｘ・ｘ|の|ｘ|＝１における最大値）
とする。カッコよく書いたら、
なんでｗかは不明だが（波waveのwか？）、こないだから
たびたび登場してる『日合、柳』でもｗである。
さて、
この記事の目標は、不等式
を証明することである。
――これは、『日合、柳』では練習問題になっている・・・
が、||Ａ||とはいったいなんのか。
絶対値は縦棒一本“｜”だったが、これは、縦棒二本“||”。
これは、行列Ａの“ノルム”といって、Ａの“倍率”のようなもの。
とりあえず、“倍率”と呼ぶことにしよう。
（ 次から次へと説明ばかり。。
倍率とはどういうものか、式で書くと
である。確かに、「もとのｘの大きさに対して、Ａｘの大きさはどれだけですか」
という“割合”を表していて、まさに倍率である。
ちょっと考えると、次のようにも書けることがわかる。
これで、だいたい準備はできた。
さっきの不等式を証明しよう。
ただし、
次のことは、証明なしに認めることにする。
Ａがエルミート行列のとき、ｗ(Ａ)＝||Ａ||
すごいじゃないか！エルミート行列！
振幅と倍率の一致！
エルミート行列がなんなのか分からない人は、
まあ「行列のエリート」とでも思っておいて下さい。
また、いつか、記事にしたいと思います。
しかし、ここに来て、やはり、
いろいろ「前提知識」がいることがわかってきた。
証明を書いても、はっきりいって、
高校数学の知識で、全部をしっかり理解するのは無理である。
というわけで、証明を期待しておられた方には、
ここまで読んでいただいたのに申し訳ないが、
証明は、“概略”だけを書くことにする。ごめんなさい。
まず、
ｗ(Ａ)≦||Ａ||
の証明であるが、
コーシー・シュワルツの不等式（２次元ならｘ・ｙ＝|ｘ||ｙ|cosθからわかる）を
使えばできる。
|Ａｘ・ｘ|≦|Ａｘ|・|ｘ|≦||Ａ||・|ｘ|・|ｘ|
一つ目の≦がコーシー・シュワルツ不等式。
二つ目の≦は、倍率の意味（定義）をよーく考えるとできます。
今、|ｘ|＝１として考えているので、
|Ａｘ・ｘ|≦||Ａ|| （|ｘ|＝１なるすべてのｘで成立。）
ということは、
ｗ(Ａ)＝max|Ａｘ・ｘ|≦||Ａ||
次に、
||Ａ||≦２ｗ(Ａ)
の証明。
これは、概略だけ示す。
こないだの記事で出てきた、デカルト分解を使うと、
Ａ＝Ｓ＋ｉＴ （Ｓ、Ｔはエルミート行列）
と書けるのだった。これより、
||Ａ||≦||Ｓ||＋||Ｔ||＝ｗ(Ｓ)＋ｗ(Ｔ)≦ｗ(Ａ)＋ｗ(Ａ)
一つ目の≦は、倍率の定義と、ベクトルの三角不等式から出る。
＝は、エルミート行列では、倍率と振幅が同じだから。
二つ目の≦は、振幅の定義と、複素数の三角不等式から出る。
よって、
が証明された。（概略だけど。）
さて、
注意しておきたいことがある。
それは、デカルト分解を使ったとき、虚数ｉを使ったことだ。
高校では、行列とかベクトルといったら、ふつう成分は実数だったが、
ｉＴをとかを扱う以上、行列のスカラー倍の定義より、
ｉが行列Ｔの中に入ってもいいことになる。
つまり、成分として、複素数を許さなければならない。
実は、上の証明では、
実数の２次元空間ではなく、複素数の２次元空間で議論している。
したがって、実数の空間で上の不等式は成り立つことは証明されていない。
（し、実際、実数の空間の場合、不等式が成り立たないことがある。）
あと、
上の証明は、３次元以上、というか無限次元でも成り立つ。
行列といわず、一般に“作用素”で通用する。
今回の記事の、もっと詳しく考えたいところを
「問題」としてまとめておこう。
＜問題＞
（１）二次形式の話１。
Ａｘ・ｘ＝（ｘ＋ｙ）^2
となるためには、Ａをどんな行列にすればよいか。
（２）二次形式の話２。
この記事では、２次正方行列Ａと２次元ベクトルｘによって、
Ａｘ・ｘがｘ、ｙの２次式を表すことを見た。
ｘ、ｙ、ｚの３文字からなる２次式を表すためには、
どうすればよいだろうか。
（３）三次形式の話。
行列Ａとベクトルｘを使って、二次形式ならぬ
三次形式（ｘ、ｙの３次式）を表すためにはどうすればよいだろうか。
（４）振幅の話１。
実数の２次元空間では、
不等式ｗ(Ａ)≦||Ａ||≦２ｗ(Ａ)は、成り立つとは限らない。
成り立たないような２次正方行列Ａの例を挙げよ。
（５）振幅の話２。
複素数の２次元空間（つまり、成分が２つとも複素数）で考える。
不等式ｗ(Ａ)≦||Ａ||≦２ｗ(Ａ)において、
Ａがエルミート行列なら、左の≦が＝になることが知られている。
では、右の≦が＝になることもあるだろうか。
||Ａ||＝２ｗ(Ａ)
となるような２次正方行列Ａの例を挙げよ。
偉そうに、問題まで出してしましました。すみません。
５問とも筆者が実際に取り組んでみた問題です。
すべて答えがあります。（筆者の思い違いでなければ。）
（３）はちょっと変わってますが、（２）と併せて、
二次形式の“二”がどこから来るのか、という疑問に答える問題です。
Ａを２次正方行列、ｘを２次元ベクトルとして、
Ａｘ・ｘ
がなんたらかんたら・・・
という問題を見たことはいないだろうか？
筆者は、その昔受験生だった頃、一度これに出くわし、
珍しく行列の抽象的な（代数的な）問題だ！と感動するとともに、
なんでこんなものを考えるんだろう？と疑問に感じた。
行列を作用させたやつ（Ａｘ）と、作用させる前のやつ（ｘ）の
内積である。
なかなかきれいな形であるが、なにを意味するのかはよくわからない。
大学に入って、線形代数を勉強していたら、教科書に出てきた。
“二次形式”の章に出てきた。たとえば、
のようなもので、
行列Ａは、右辺の多項式を表していると考えられる。。
行列を使って、２次式を系統的に扱えないかという話である。
なんだけど、
今回は、
Ａｘ・ｘを“二次形式”としてではなく、
“数域半径”と見て簡単な不等式を示す。
“数域半径”とは、
ｘの大きさが１のときの、|Ａｘ・ｘ|の最大値
のことである。もちろん、Ａは固定している。「| |」は絶対値。
上で見たように、Ａｘ・ｘは、ｘとｙの２次式だから最大値があるはずである。
２次式ｚ＝Ａｘ・ｘのグラフは、三次元空間（ｘ軸、ｙ軸、ｚ軸！）の中の曲面になる。
このグラフのうち、ｘｙ平面の単位円の真上にあるところでのｚの最大値というわけ。
うまく描けてないけど、上図で、緑色のネットがｚ＝Ａｘ・ｘグラフ。
青色は、ｘｙ平面上の単位円（ｘの大きさが１なところ！）と
グラフ上でその真上にあたるところ。ここでのｚの最大値が数域半径である。
数域半径は英語では、numerical radious。
“数域”というのが何を意味するのか、筆者は今のところよくわかっていません。
しかし、たとえば、
Ａとして、回転行列Ｒ(θ)を考えると、
|ｘ|＝１のとき、Ｒ(θ)ｘ・ｘ＝cosθだから、
数域半径はcosθとなる。（行列は固定しているからθも固定されていることに注意！）
このことから、数域半径というのは、
ｘがＡによって“どれくらい振られるか”を表しているらしいことがわかる。
最大値を考えることによって、いわば最大振幅を求めているわけである。
ｘの大きさを１にしているのは、ｘが好き放題でかくなると、
Ａｘ・ｘもどんどんでかくなって、∞になってしまうのを防ぐためだろう。と推測できる。
一般には、“数域半径”と呼ばれているけど、
以上のことから、我々は、これを行列Ａの“振幅”と呼びたい。
行列Ａの振幅を表す記号を導入しよう。
振幅は（今調べたら）英語でamplitudeだった。
頭文字のaを採りたいところだが、Ａと紛らわしい気がするので、
記号だけは、一般の数域半径のものを借りよう。
ｗ(Ａ)＝（|Ａｘ・ｘ|の|ｘ|＝１における最大値）
とする。カッコよく書いたら、
なんでｗかは不明だが（波waveのwか？）、こないだから
たびたび登場してる『日合、柳』でもｗである。
さて、
この記事の目標は、不等式
を証明することである。
――これは、『日合、柳』では練習問題になっている・・・
が、||Ａ||とはいったいなんのか。
絶対値は縦棒一本“｜”だったが、これは、縦棒二本“||”。
これは、行列Ａの“ノルム”といって、Ａの“倍率”のようなもの。
とりあえず、“倍率”と呼ぶことにしよう。
（ 次から次へと説明ばかり。。
倍率とはどういうものか、式で書くと
である。確かに、「もとのｘの大きさに対して、Ａｘの大きさはどれだけですか」
という“割合”を表していて、まさに倍率である。
ちょっと考えると、次のようにも書けることがわかる。
これで、だいたい準備はできた。
さっきの不等式を証明しよう。
ただし、
次のことは、証明なしに認めることにする。
Ａがエルミート行列のとき、ｗ(Ａ)＝||Ａ||
すごいじゃないか！エルミート行列！
振幅と倍率の一致！
エルミート行列がなんなのか分からない人は、
まあ「行列のエリート」とでも思っておいて下さい。
また、いつか、記事にしたいと思います。
しかし、ここに来て、やはり、
いろいろ「前提知識」がいることがわかってきた。
証明を書いても、はっきりいって、
高校数学の知識で、全部をしっかり理解するのは無理である。
というわけで、証明を期待しておられた方には、
ここまで読んでいただいたのに申し訳ないが、
証明は、“概略”だけを書くことにする。ごめんなさい。
まず、
ｗ(Ａ)≦||Ａ||
の証明であるが、
コーシー・シュワルツの不等式（２次元ならｘ・ｙ＝|ｘ||ｙ|cosθからわかる）を
使えばできる。
|Ａｘ・ｘ|≦|Ａｘ|・|ｘ|≦||Ａ||・|ｘ|・|ｘ|
一つ目の≦がコーシー・シュワルツ不等式。
二つ目の≦は、倍率の意味（定義）をよーく考えるとできます。
今、|ｘ|＝１として考えているので、
|Ａｘ・ｘ|≦||Ａ|| （|ｘ|＝１なるすべてのｘで成立。）
ということは、
ｗ(Ａ)＝max|Ａｘ・ｘ|≦||Ａ||
次に、
||Ａ||≦２ｗ(Ａ)
の証明。
これは、概略だけ示す。
こないだの記事で出てきた、デカルト分解を使うと、
Ａ＝Ｓ＋ｉＴ （Ｓ、Ｔはエルミート行列）
と書けるのだった。これより、
||Ａ||≦||Ｓ||＋||Ｔ||＝ｗ(Ｓ)＋ｗ(Ｔ)≦ｗ(Ａ)＋ｗ(Ａ)
一つ目の≦は、倍率の定義と、ベクトルの三角不等式から出る。
＝は、エルミート行列では、倍率と振幅が同じだから。
二つ目の≦は、振幅の定義と、複素数の三角不等式から出る。
よって、
が証明された。（概略だけど。）
さて、
注意しておきたいことがある。
それは、デカルト分解を使ったとき、虚数ｉを使ったことだ。
高校では、行列とかベクトルといったら、ふつう成分は実数だったが、
ｉＴをとかを扱う以上、行列のスカラー倍の定義より、
ｉが行列Ｔの中に入ってもいいことになる。
つまり、成分として、複素数を許さなければならない。
実は、上の証明では、
実数の２次元空間ではなく、複素数の２次元空間で議論している。
したがって、実数の空間で上の不等式は成り立つことは証明されていない。
（し、実際、実数の空間の場合、不等式が成り立たないことがある。）
あと、
上の証明は、３次元以上、というか無限次元でも成り立つ。
行列といわず、一般に“作用素”で通用する。
今回の記事の、もっと詳しく考えたいところを
「問題」としてまとめておこう。
＜問題＞
（１）二次形式の話１。
Ａｘ・ｘ＝（ｘ＋ｙ）^2
となるためには、Ａをどんな行列にすればよいか。
（２）二次形式の話２。
この記事では、２次正方行列Ａと２次元ベクトルｘによって、
Ａｘ・ｘがｘ、ｙの２次式を表すことを見た。
ｘ、ｙ、ｚの３文字からなる２次式を表すためには、
どうすればよいだろうか。
（３）三次形式の話。
行列Ａとベクトルｘを使って、二次形式ならぬ
三次形式（ｘ、ｙの３次式）を表すためにはどうすればよいだろうか。
（４）振幅の話１。
実数の２次元空間では、
不等式ｗ(Ａ)≦||Ａ||≦２ｗ(Ａ)は、成り立つとは限らない。
成り立たないような２次正方行列Ａの例を挙げよ。
（５）振幅の話２。
複素数の２次元空間（つまり、成分が２つとも複素数）で考える。
不等式ｗ(Ａ)≦||Ａ||≦２ｗ(Ａ)において、
Ａがエルミート行列なら、左の≦が＝になることが知られている。
では、右の≦が＝になることもあるだろうか。
||Ａ||＝２ｗ(Ａ)
となるような２次正方行列Ａの例を挙げよ。
偉そうに、問題まで出してしましました。すみません。
５問とも筆者が実際に取り組んでみた問題です。
すべて答えがあります。（筆者の思い違いでなければ。）
（３）はちょっと変わってますが、（２）と併せて、
二次形式の“二”がどこから来るのか、という疑問に答える問題です。