絶対値のついた関数は連続か？

Q．式の中に絶対値を含む関数は、
　必ず連続でしょうか？


A．絶対値の中に入っている関数、絶対値の外にある関数が、
　両方とも連続ならば、連続です。


Q．証明できますか？


A．数Ⅲに出てくる「連続性の定義」を使って示すこともできますが、
　以下のことを認めればもっと簡単に理解できます。

　ｙ＝ｆ(ｘ),ｙ＝ｇ(ｘ)を連続関数とするとき、
　①ｙ＝ｆ(ｘ)＋ｇ(ｘ)は連続関数
　②ｙ＝ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)は連続関数
　③ｙ＝ｆ(ｇ(ｘ))は連続関数

これを使うと、たとえば、

　ｙ＝ｘ|ｘ＋１|－２ｘ

という関数が連続であることは、以下のようにして確かめられます。
まず、ｆ(ｘ)＝|ｘ|,ｇ(ｘ)＝ｘ＋１はともに連続関数だから、
③より、|ｘ＋１|＝ｆ(ｇ(ｘ))は連続関数。
ｙ＝ｘは連続関数だから、②より、ｙ＝ｘ＋|ｘ＋１|は連続関数。
さらに、ｙ＝－２ｘは連続関数だから、①より、
ｙ＝ｘ|ｘ＋１|－２ｘは連続関数。



数Ⅲの「連続性の定義」を使うと、①②③が証明できるので、
結局、数Ⅲのレベルで、絶対値のついた関数は連続であるということが言える。


①②は極限の公式を使います。
③は、極限の定義の中に含意されている、
　「限りなく近づくなら、どんな近づき方でも、極限は同じ」
ということに注意すれば、わかる。

自己共役作用素の関数 定義域の稠密性

H：Hilbert空間
A：H上の自己共役作用素
とする。
可測関数ｆ：R→Cについて、
が正ならば、
ｆ(A)の定義域D(ｆ(A))は、Hで稠密である。


＜証明＞

D(ｆ(A))のすべての元と直交するような、ψ∈Hを任意にとる。
は有界だから、はH全体で定義される。
よって、∈D(ｆ(A))が存在し、

ここで、１／ｆ(λ)は非負値関数、測度<ψ,E(・)ψ>は非負測度なので、
このψに対して<ψ,E(・)ψ>は零測度でないとおかしい。ゆえに、

となり、ψ＝０
したがって、

つまり

であるから、D(ｆ(A))はHで稠密である　　□



たとえばψ＝０があるので、このような元ψは必ずひとつは存在する。


まず、は、逆関数のことではなく、のことである。
||ψ||＝１なる任意のψ∈Hに対して、

より有界となり、スペクトル分解した作用素の定義域の定義よりH全体で定義される。

ヒルベルト空間と線形作用素（日合、柳）

行列の先には、線形作用素というものがあります。

行列も線形作用素ですが、
ふつう線形作用素といったら、無限次元の空間で考えます。
（高校ででてくる行列は２次元。たまに３次元。）

線形作用素を勉強するには、
「関数解析」の本を読めばいいですが、
関数解析は、その名の通り、「関数」の空間を
調べる学問なので、行列とは毛色の違う話題も
たくさん含んでいます。

より行列チックな内容が書いてある本として、

　ヒルベルト空間と線形作用素（数理情報科学シリーズ）
　日合文雄、柳研二郎　著
　牧野書店

があります。
（といっても、筆者はちゃんと読んだことがないので、
読みやすいかとか、どのくらい詳しいかとかは分かりません。
しかし、関数解析の本に書いてないような、
行列チックな話題が書いてあるのは確かです。
パラパラ見た感じでは、文字やレイアウトは割と見やすいし、
演習問題もあって、いい感じです。）

牧野書店のHPから本書の目次をコピペすると、

　＜主要目次＞
　1．ヒルベルト空間
　2．ヒルベルト空間上の線型作用素
　3．スペクトル分解
　4．ヒルベルト空間上のコンパクト作用素
　5．作用素単調関数と作用素平均
　6．作用素特論
　付録（いくつかの基本定理）　文献ノート　参考文献

というような感じです。
１～４は、どの関数解析の本にも書いてますが
（３は簡単なのには書いてないかもしれませんが）、
５は（行列チックな内容だと思いますが）、関数解析の本には書いていません。
本書は、“作用素論”の本なのです。

予備知識として、位相空間、測度論、複素函数論を
仮定しているみたいなので、高校生には厳しいですが、
関数解析を勉強しているけど、関数空間の話より、
作用素そのものを詳しく勉強したいという人は
本書を手にとってみてはいかがでしょう。

また、この本によって、作用素論と作用素環論は別ということを知りました。
（いまさら？）