自己共役作用素の関数 定義域の稠密性

H：Hilbert空間
A：H上の自己共役作用素
とする。
可測関数ｆ：R→Cについて、
が正ならば、
ｆ(A)の定義域D(ｆ(A))は、Hで稠密である。


＜証明＞

D(ｆ(A))のすべての元と直交するような、ψ∈Hを任意にとる。
は有界だから、はH全体で定義される。
よって、∈D(ｆ(A))が存在し、

ここで、１／ｆ(λ)は非負値関数、測度<ψ,E(・)ψ>は非負測度なので、
このψに対して<ψ,E(・)ψ>は零測度でないとおかしい。ゆえに、

となり、ψ＝０
したがって、

つまり

であるから、D(ｆ(A))はHで稠密である　　□



たとえばψ＝０があるので、このような元ψは必ずひとつは存在する。


まず、は、逆関数のことではなく、のことである。
||ψ||＝１なる任意のψ∈Hに対して、

より有界となり、スペクトル分解した作用素の定義域の定義よりH全体で定義される。