解答作成日：2015年4月18日
テーマ：条件を満たしながら変わる3変数で表される式の値
履修学年：なし
またまた奥深い問題です。
「x＝y＝zで最大になるのでは…？」と、“予測”するのは簡単ですが、いざそれを証明するとなると莫大な計算を余儀なくされてしまいます。
それは、本題では「仕方がない」と割り切って、方針をご紹介します。
問題28で3動点の問題をご紹介しました。
【問題28】一辺の長さが1の正六角形ABCDEFがあり、その辺または頂点上に異なる3点P、Q、Rをとる。ΔPQRの面積の最大値を求めよ。
この問題の解説で、動点や変数が複数存在する場合は、いずれかを「固定されたもの」と仮定して考えるのが妥当と説明したと思います。
本題は、まさにその典型ですね！！
zを定数と仮定することで、(与えられた条件との兼ね合いから)変数を1つに絞り出せて、z以外の値の条件、すなわち、xとyの関係を先に見つけ出せます。
このときのxとyの関係が式が最大となるための必要条件ですので、今度はこれを固定して、zについて条件を見つけ出せばいいのです！！
本題は高校数学Ⅲで履修する微分の解法を知らないと解けない問題です。
数学Ⅲで履修する微分の具体的な解説は、リクエストがございましたら追って解説をアップロード致します。