おはようございます。
親愛なる戦友の皆さまへ日頃の感謝を込めて、超久しぶり
ホンキの宿題ネタです。
（わたしが宿題ネタを書いていたのをご存知の方は、超ベテランの読者様ですよ！）
さて、日能研新小5のカリキュラムが始まり、2週目に突入しました。
戦友の皆さまへ質問です。
宿題は終わりましたか？
先週の積み残しありませんか？
ドンドン雪だるま式に宿題増えていませんか？
もしかして宿題全部やろうとしていませんか？
ちゃんと取捨選択できていますか？
そんなにたくさん質問するなよ！
って怒られそうですね
すいませんでした
我が家は、【計算と漢字】を始めとした脇役を除いて、辛うじてこなしている・・・ようです。（以下参照）
偉大なる先人たちから聞く限り、この時期は自転車操業も止む無しですが、出来れば宿題は積み残したくないですよね！
そんなわけで今日は、【知る人ぞ知る濃いブログ：はなまる勉強日記】の中でも、
久しぶりに超濃い内容です。
（いつも内容がないよーとか言わないで下さい
）
さて本題。
今日解くのは、日能研の小5算数の課金授業：応用力アップ講座の難問（アメブロ界で話題の例のロッカー問題）です。
※テキストは以下左側のやつ。
目指せ筑駒！
と言うつもりは毛頭ありませんが、問題自体は筑波大学附属駒場中学校の２０１７年入試問題第１問です。
とてもとても面白い問題ですので、
ぜひ日能研(関東圏)以外の方にも挑戦して欲しい問題です！
ちなみにテキスト記載の解説は完全に無視して書いてますので、もっとスマートな解き方はあるかもしれません。
問題
ロッカーが２００個あり、それぞれに１～２００まで書かれている。
最初すべてのロッカーは閉まっており、以下のルールに基づき１００回の操作をする。
※開閉：ロッカーが閉まっていれば開ける、ロッカーが開いていれば閉める。
１回目：すべてのロッカーを開ける。
２回目：２で割り切れるロッカーをすべて閉める。
３回目：３で割り切れるロッカーをすべて閉める。
・・・
１００回目：１００で割り切れるロッカーをすべて閉める。
問１：番号１～１０までのロッカー１０個のうち、１００回の操作後に開いているロッカーの番号をすべて答えなさい。
問２：番号９９、１００、１０１のロッカーはそれぞれ何回開閉されたか。開けた回数と閉めた回数の合計を答えなさい。
問３：２００個のロッカーのうち、開いているロッカーは何個あるか答えなさい。
解いてみた（問１）：３分
問１：番号１～１０までのロッカー１０個のうち、１００回の操作後に開いているロッカーの番号をすべて答えなさい。
中学受験の問題ですが、一見すると難しそうに見える問題が多いです
ですが、実際はとても単純な問題を、規模だけ大きくして、大げさに見せる問題が多いです。
問題を単純化/簡略化すると、問題の本質が見えてきて、実は簡単に答えられる場合が多々あります。
例えば問１なんか、何も考えずに手を動かせば、小学２年生でも解けます。
例えば以下のように、１回目でロッカーを開けるので「〇」、ロッカーを閉めると「●」として、１０回目までやってみました。
※〇：ロッカー開、●：ロッカー閉
すると、あら不思議。
問１の答え（開いているロッカーの番号）は、【１，４，９】となります。
えっ！？、まだ１０回だよ！？ １００回までやらないでいいの？
と思われるかもしれませんが、不要です。
なぜならば、11回目以上は、どんなにやっても番号1～10のロッカーは開け閉めされないからです。
そのため、問１は地道にやれば解ける問題（＝サービス問題）です。
（ここまでおよそ３分）
解いてみた（問２）：２分
問２：番号９９、１００、１０１のロッカーはそれぞれ何回開閉されたか。開けた回数と閉めた回数の合計を答えなさい。
勘の鋭い方はお気づきですが、上で書いた図を見ると、
ロッカーの開閉タイミング＝ロッカー番号の約数
ロッカーの開閉回数＝ロッカー番号の約数の数
となります。
具体的に言うと、１０番のロッカーの約数は１，２，５，１０ですので、
ロッカーの開閉タイミング＝１回目、２回目、５回目、１０回目
ロッカーの開閉回数＝４回
となります。
９９番のロッカーの約数＝１，３，９，１１，３３，９９と６個ですので、開閉回数は６回。
１００番のロッカーの約数は、１，２，４，５，１０，２０，２５，５０，１００と９回ですので、開閉回数は９回。
１０１番のロッカーの約数は、１，１０１ですが、１００回までしか開閉しないので、１０１番のロッカーは、１番最初に開いたままのため、開閉回数は１回です。
よって正解は、【９９番：６回、１００番：９回、１０１番：１回】となります。
問１でルールが分かれば、２分で解けます。
これもサービス問題です。
解いてみた（問３）：５分
問３：２００個のロッカーのうち、開いているロッカーは何個あるか答えなさい。
問題は問３です。
中学受験で合格するには、こういう問題を何分で解けるか！？がきっと問われるのでしょう。
さて、２００個もあるロッカーのうち、１００回の操作後に開いているロッカーは何個？なんて聞かれても、
知るか！？
ですよ。
これ解いてなんの役に立つんでしょうね？
コインロッカーの管理人ですか？
老後にやりたい仕事ですね。
なんて考えだすと脱線します。
本題に戻り、先ほど上に書いた図を見てもらうと、面白いことに気づきます。
（以下にもう一度出します）
ロッカー番号１～１０の内、操作を１０回した時点で、１，４，９以外のロッカーは、全部閉まっているんです。
なんで閉まっているの？と思い気付くのが、先ほどの問２で使ったロッカーの開閉回数＝約数の数です。
２以上の整数には、必ず２つ以上の約数があります。
約数の１つ目は１、２つ目はその数字です。
そして、多くの整数の約数の数は、偶数です。
例えば２０の場合、約数は１，２，４，５，１０，２０と６個です。
一方、約数の数が奇数の数字もありますが、それは平方数です。
具体的に言うと、例えば１～１００の間で並べますと、１，４，９，１６，２５，３６，４９，６４，８１，１００の約数の数は奇数です。
１の約数：１（１個）
４の約数：１，２，４（３個）
９の約数：１，３，９（３個）
・・・以下略
すなわち、上のルールで１００回ロッカーを操作した場合、
ロッカー番号１～１００のロッカーの内、
ロッカー番号が平方数(10個)のロッカー：開（〇）
ロッカー番号が平方数以外(90個)のロッカー：閉（●）
ということになります。
すなわち、ロッカー番号１～１００のロッカーの内、１００回のロッカーの操作後に開いているロッカーの数は１０個です。
問題はこの先の、ロッカー番号１０１～２００です。
実はここも悩む必要は全くありません
とりあえず手を動かせば、答えは簡単に求まります。
例えばさきほどのロッカー番号１～１０のやつに、１１～２０を足すと以下の通りとなります。
勘のいい方はお気づきでしょう。
ロッカーの操作を１０回まで行った場合、ロッカー番号１～１０のうち、１，４，９以外のロッカーは閉まっています。
一方、ロッカー番号１１～２０のうち、閉まっているロッカー番号は１６だけで、残る９個は開いています。
１，４，９，１６は、前述したとおり平方数です。
すなわち、ロッカー操作を１０回まで行った場合、
開いているロッカーの数は、ロッカー番号１～１０の内３個＋ロッカー番号１１～２０の内９個の１２個です。
これを単純に回数を１００回、ロッカーの数を２００に拡張すればいいんです。
すると答えは単純で、
ロッカー番号１～１００番のうち、開いているロッカー番号＝平方根の数なので、
ロッカー番号＝１，４，９，１６，２５，３６，４９，６４，８１，１００のロッカーが開いています。
＝１０個のロッカーが開いています。
一方、ロッカー番号１０１～２００番のうち、閉まっているロッカー番号＝平方根の数なので、
ロッカー番号：１２１，１４４，１６９，１９６の４個のロッカーは閉じ、残る９６個が開いています。
すなわち開いているロッカーの数は、【１０＋９６＝１０６個】です。
まとめ
いかがでしたでしょうか？
考えて悩むより、とりあえず手を動かせば解ける問題でした。
今回は、以下２つに次ぐ、超久しぶりの宿題ネタでした。
１０分ですんなり解け、スッキリして頂けたら幸いです。
最後までお付き合いいただき、ありがとうございました。
よい週末をお過ごしください
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