㊵ ２次式は完全平方式に
○ 次の [ ア ] ～ [ ケ ] に適切な数・不等号を入れてください。
(１) t ² ＋ 3 t ＋ 2 ≧ [ ア ] ただし、t は 実数である。
(２) y ＝－x ² ＋ 2 x ＋ 2 ・ ・ ・ ・ ・ ① の 頂点の座標 は ( [ イ ] , [ ウ ] ) である。
また
y ＝ ｆ (x) は、① を x 軸方向に p , y 軸方向に q だけ平行移動したものである。
ⅰ) 2 ≦ x ≦ 4 で ｆ (x) の最大値が ｆ (2) になるような p の値の範囲を求めると
p [ エ ] [ オ ]
であり、最小値が ｆ (2) になるような p の値の範囲を求めると
p [ カ ] [ キ ]
である。
ⅱ) ｆ (x) ＞ 0 の解が －2 ＜ x ＜ 3 になるのは
p ＝ [ ク ] , q ＝ [ ケ ]
のときである。
ア － 1/4
イ 1 ウ 3
エ ≦ オ 1
カ ≧ キ 2
ク －1/2
ケ 13/4
(１) について
「 x ² ＋ 3 x ＋ 2 ≧ [ ] ただし、x は 実数である。」 という
x の２次式なら 解けるのに、
「 t ² ＋ 3 t ＋ 2 ≧ [ ア ] ただし、t は 実数である。」 という
t など他の文字の２次式だと できない生徒がいます。
また、
「 x ² ＋ 3 x ＋ 2 ≧ [ ] ただし、x は 実数である。」 という問いに
解の公式を使う生徒がいます。
x であろうと t であろうと
実数である文字の２次式 の (最大値・) 最小値 を求めることだ
と判断する・できることが大切です。
２次式の最大値・最小値を求めるには、
完全平方式をつくり
実数の性質を使うか、
あるいは
２次関数として 向き 軸 頂点 をおさえて グラフを利用する。
x などの文字の範囲 ( 区間 ) があれば、
区間の中点に注意しながら
記号 ｆ (x) や ｆ (t) などを使って 端点値 を。
( 解答 )
t ² ＋ 3 t ＋ 2
＝ t ² ＋ 3 t ＋ 9/4 － 9/4 ＋ 2
＝ ( t ＋ 3/2 ) ² － 1/4
t ＋ 3/2 は 実数だから
( t ＋ 3/2 ) ² ≧ 0
( t ＋ 3/2 ) ² － 1/4 ≧－ 1/4
ゆえに
t ² ＋ 3 t ＋ 2 ≧－ 1/4
である。
(２) について
この問題は、今年の大学入試センター試験 数Ⅰ・Ａの100点のうちの20点分です。
( 解答 )
y ＝－ x ² ＋ 2 x ＋ 2
＝－ ( x ² － 2 x ) ＋ 2
＝－ ( x ² － 2 x ＋ 1 － 1 ) ＋ 2
＝－ ( x － 1 ) ² ＋ 1 ＋ 2
＝－ ( x － 1 ) ² ＋ 3
向き 上に凸
軸 x ＝ 1
頂点 ( 1 , 3 ) 5 点
ⅰ)
y ＝ ｆ (x) は、① を x 軸方向に p , y 軸方向に q だけ平行移動したものであるから
ｆ (x) － q ＝－ ( x － 1 － p ) ² ＋ 3
ｆ (x) ＝－ ( x － 1 － p ) ² ＋ 3 ＋ q
向き 上に凸
軸 x ＝ 1 ＋ p
頂点 ( 1 ＋ p , 3 ＋ q )
2 ≦ x ≦ 4 で ｆ (x) の最大値が ｆ (2) になるには、
向き と 区間と軸の位置関係 を考えると
1 ＋ p ≦ 2
すなわち
p ≦ 1 である 5 点
2 ≦ x ≦ 4 で ｆ (x) の最小値が ｆ (2) になるには、
向き と 区間の中点と軸の位置関係 を考えると
3 ≦ 1 ＋ p
すなわち
p ≧ 2 である 5 点
ⅱ)
－2 ＜ x ＜ 3
⇔ ( x ＋ 2 ) ( x － 3 ) ＜ 0
⇔ x ² － x － 6 ＜ 0
⇔ － x ² ＋ x ＋ 6 ＞ 0
ｆ (x) ＞ 0 の解が －2 ＜ x ＜ 3 になるのは
－ ( x － 1 － p ) ² ＋ 3 ＋ q ＝ － x ² ＋ x ＋ 6
＝ － ( x ² － x ) ＋ 6
＝ － ( x ² － x ＋ 1/4 － 1/4 ) ＋ 6
＝ － ( x － 1/2 ) ² ＋ 1/4 ＋ 6
＝ － ( x － 1/2 ) ² ＋ 25/4
より
1 ＋ p ＝ 1/2 かつ 3 ＋ q ＝ 25/4
すなわち
p ＝ －1/2 , q ＝ 13/4 のときである
2 点 3 点
【 ２次式は完全平方式に変形する 】
２次式を完全平方式にする
最初の機会は、
２次方程式の解の公式を導くとき
次は、
２次関数の(向き) 軸 頂点 を求めるとき
２次式を完全平方式に変形できるから
・ 解の公式を導ける
・ 放物線 の 軸 頂点を求められる
２次式を完全平方式に変形するために
展開・因数分解の
乗法公式
( a ± b ) ² ＝ a ² ± 2 a b ＋ b ²
( ２項式の２乗 は ２乗 積の２倍 ２乗の３項式 になる ただし、積の２倍の符号に注意 )
を学んだ
この公式 から １次の係数の半分の２乗 を足せば、
２乗 積の２倍 ２乗の３項式になり
２項式の２乗 ( 完全平方式 ) にできることを知る
x ² ± 2 a x
＝ x ² ± 2 a x ＋ a ² － a ²
＝ ( x ± a ) ² － a ²
乗法公式を利用して、完全平方式をつくる！
完全平方式を使って解の公式を導く！
完全平方式を使って２次式の最大値・最小値を求める！
１つの知識を利用し、新たな知識を得て、問題解決のための知識体系ができる。
知識はバラバラでなく、できるだけ関連させ知識体系を意識して 身につける。
２次関数、２次方程式、２次不等式はバラバラでなく、
関係づけて体系的に身につけてください。
次回は、テーマ 「 思いつき と 考え 」 の
記事 「 ひき算の概念 」 につづきます。