㊴ 不等式を関数で ２
問い Ⅹ
２次不等式 a x ² ＋ b x ＋ c ≧ 0 を解きなさい。
２次不等式 a x ² ＋ b x ＋ c ≧ 0 を解くこと
は
２次関数 y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c が
x 軸以上にあるその部分 の x の範囲 ( 区間 ) を求めること
である
ｆ (x) ＝ a x ² ＋ b x ＋ c とおく
ｆ (x) ＝ a x² ＋ b x ＋ c
＝ a ( x ＋ b/2a ) ² － ( b ² － 4ac ) / 4a
１) a ＞ 0 のとき
y ＝ ｆ (x) は
・ 向きが 下に凸
・ 軸が x ＝ － b/2a
・ 頂点が ( － b/2a , － ( b ² ― 4ac ) / 4a )
よって
x 軸との共有点は
b ² ― 4ac ＜ 0 のとき、 なし
b ² ― 4ac ＝ 0 のとき、 １つあり その座標は ( － b/2a , 0 )
b ² ― 4ac ＞ 0 のとき、 ２つあり その座標は
( { －b－√( b² ―4ac ) } / 2a , 0 ) , ( { －b＋√( b² ―4ac ) } / 2a , 0 )
である
以上より、
求める答えは
b ² ― 4ac ＜ 0 のとき、 x は 実数全体
b ² ― 4ac ＝ 0 のとき、 x は 実数全体
b ² ― 4ac ＞ 0 のとき、
x ≦ { －b－√( b² ―4ac ) } / 2a , { －b＋√( b² ―4ac ) } / 2a ≦ x
２) a ＜ 0 のとき
y ＝ ｆ (x) は
・ 向きが 上に凸
・ 軸が x ＝ － b/2a
・ 頂点が ( － b/2a , － ( b ² ― 4ac ) / 4a )
よって
x 軸との共有点は
b ² ― 4ac ＜ 0 のとき、 なし
b ² ― 4ac ＝ 0 のとき、 １つあり その座標は ( － b/2a , 0 )
b ² ― 4ac ＞ 0 のとき、 ２つあり その座標は
( { －b－√( b² ―4ac ) } / 2a , 0 ) , ( { －b＋√( b² ―4ac ) } / 2a , 0 )
である
以上より、
求める答えは
b ² ― 4ac ＜ 0 のとき、 解なし
b ² ― 4ac ＝ 0 のとき、 x ＝ － b/2a
b ² ― 4ac ＞ 0 のとき、
{ －b－√( b² ―4ac ) } / 2a ≦ x ≦ { －b＋√( b² ―4ac ) } / 2a
必ず、x 軸をひき 放物線を描いて確認を！
○ 次の [ ア ] ～ [ ケ ] に適切な数・不等号を入れてください。
(１) t ² ＋ 3 t ＋ 2 ≧ [ ア ] ただし、t は 実数である。
(２) y ＝－x ² ＋ 2 x ＋ 2 ・ ・ ・ ・ ・ ① の 頂点の座標 は ( [ イ ] , [ ウ ] ) である。
また
y ＝ ｆ (x) は、① を x 軸方向に p , y 軸方向に q だけ平行移動したものである。
ⅰ) 2 ≦ x ≦ 4 で ｆ (x) の最大値が ｆ (2) になるような p の値の範囲を求めると
p [ エ ] [ オ ]
であり、最小値が ｆ (2) になるような p の値の範囲を求めると
p [ カ ] [ キ ]
である。
ⅱ) ｆ (x) ＞ 0 の解が －2 ＜ x ＜ 3 になるのは
p ＝ [ ク ] , q ＝ [ ケ ]
のときである。
次回 ㊵ ２次式は完全平方式に につづきます。