⑫ 方程式を関数で
○ 問い Ⅱ
次の (１) と (２) の a , b , c の条件式について、その導出過程を書いてください。
(１) ２次方程式 a x ² ＋ b x ＋ c ＝ 0 の解が、 ２つで 正と負のときの
条件式は a c ＜ 0 である。
(２) a x ² ＋ b x ＋ c ＝ 0 ( a ≠ 0 ) の解が、 ２つで ともに負のときの
条件式は a c ＞ 0 かつ b² － 4ac ＞ 0 かつ －b/2a ＜ 0 である。
(１) ２次方程式 a x ² ＋ b x ＋ c ＝ 0 の解が、 ２つで 正と負である
とは、
２次関数 y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c が、x 軸と 正と負の領域 ２点で交わり、
その２つの共有点の x 座標が、２次方程式の解である
ということである。
よって、
２次関数 y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c が、x 軸と 正と負の領域 ２点で交わる
ときの条件を求めればよい。
y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c
y ＝ a ( x ＋ b/2a)² － (b² － 4ac) / 4a ・ ・ ・ ① とおく
ⅰ) 向きが下に凸 すなわち a ＞ 0 のとき、
①が、x 軸と 正と負の領域 ２点で交わるためには、
b²－4ac ＞ 0 であり、 c ＜ 0 でなければならない。
軸の位置について考えると、軸の値 －b/2a についての条件はなし。
( －b/2a は 任意の実数 である )
以上より、 a ＞ 0 , b²－4ac ＞ 0 , c ＜ 0
これは、『 ⑧ グラフ 』 『 ⑨ x 軸との交わり方 』
「 問いⅠ を解くための 問い (ⅰ) 」 の
状況② から 状況⑤までの間の状況である。 ( ただし、状況②と状況⑤を除く )
ⅱ) 向きが上に凸 すなわち a ＜ 0 のとき、
①が、x 軸と 正と負の領域 ２点で交わるためには、
b²－4ac ＞ 0 であり、 c ＞ 0 でなければならない。
軸の位置について考えると、軸の値 －b/2a についての条件はなし。
( －b/2a は 任意の実数 である )
以上より、 a ＜ 0 , b²－4ac ＞ 0 , c ＞ 0
ⅰ) , ⅱ) より、
a c ＜ 0 , b²－4ac ＞ 0
ところが
a c ＜ 0
－4ac ＞ 0
であり、
b² ≧ 0
b²－4ac ≧ 0－4ac ＞ 0
b²－4ac ＞ 0
となる。
つまり、
a c ＜ 0 ⇒ b²－4ac ＞ 0 ( a c ＜ 0 ならば b²－4ac ＞ 0 )
が成り立つ。
ゆえに
求める条件式は、 a c ＜ 0 である。
(２) a x ² ＋ b x ＋ c ＝ 0 ( a ≠ 0 ) ・・・② の解が、 ２つで ともに負である
とは、
y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c ( a ≠ 0 ) ・・・③ が、x 軸の負の領域と ２点で交わり、
その２つの共有点の x 座標が、② の解である
ということである。
よって、
③ が、x 軸の負の領域と ２点で交わる
ときの条件を求めればよい。
③より、
y ＝ a ( x ＋ b/2a)² － (b² － 4ac) / 4a ・ ・ ・ ④
ⅰ) 向きが下に凸 すなわち a ＞ 0 のとき、
④が、x 軸の負の領域と ２点で交わるためには、
b²－4ac ＞ 0 であり、 －b/2a ＜ 0 であり、 c ＞ 0 でなければならない。
以上より、 a ＞ 0 , b²－4ac ＞ 0 , －b/2a ＜ 0 , c ＞ 0
これは、『 ⑧ グラフ 』 『 ⑨ x 軸との交わり方 』
「 問いⅠ を解くための 問い (ⅰ) 」 の
状況① である。
ⅱ) 向きが上に凸 すなわち a ＜ 0 のとき、
④が、x 軸の負の領域と ２点で交わるためには、
b²－4ac ＞ 0 であり、 －b/2a ＜ 0 であり、 c ＜ 0 でなければならない。
以上より、 a ＜ 0 , b²－4ac ＞ 0 , －b/2a ＜ 0 , c ＜ 0
ⅰ) , ⅱ) より、
求める条件式は
a c ＞ 0 , b²－4ac ＞ 0 , －b/2a ＜ 0 である。
２次関数を使って、２次方程式の問題を解きました。
次の問いを２次関数を使わず、２次方程式として解いてください。
○ 問い Ⅱ 改
次の (１) と (２) の a , b , c の条件式について、その導出過程を書いてください。
ただし、２次関数は利用しないこと。
(１) ２次方程式 a x ² ＋ b x ＋ c ＝ 0 の解が、 ２つで 正と負のときの
条件式は a c ＜ 0 である。
(２) a x ² ＋ b x ＋ c ＝ 0 ( a ≠ 0 ) の解が、 ２つで ともに負のときの
条件式は a c ＞ 0 かつ b² － 4ac ＞ 0 かつ －b/2a ＜ 0 である。
次回 ⑬ 方程式として につづきます。