○ 問い Ⅱ 改
次の (１) と (２) の a , b , c の条件式について、その導出過程を書いてください。
ただし、２次関数は利用しないこと。
(１) ２次方程式 a x ² ＋ b x ＋ c ＝ 0 の解が、 ２つで 正と負のときの
条件式は a c ＜ 0 である。
(２) a x ² ＋ b x ＋ c ＝ 0 ( a ≠ 0 ) の解が、 ２つで ともに負のときの
条件式は a c ＞ 0 かつ b² － 4ac ＞ 0 かつ －b/2a ＜ 0 である。
【 国公立大２次試験レベルで、合格が困難になる解答例 】
(１) ２次方程式 a x ² ＋ b x ＋ c ＝ 0 に解の公式を使うと、
x ＝ { －b ±√(b² － 4ac) } / 2a
これが、正と負だから、
{ －b －√(b² － 4ac) } / 2a ＜ 0
{ －b ＋√(b² － 4ac) } / 2a ＞ 0
・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ？
( と不完全な解答で終了。決して条件式 a c ＜ 0 にはたどり着けない。)
「 ２次方程式を解く 」 ならば 「 解の公式 」 と中３のとき、反復させられたためか、
それが習慣化した。
高校生になって、「 判別式 」 や 「 解と係数の関係 」を習い、
この習慣が相対化されればいいのだが、
生徒の中には、さらに、強化され 改められず
大学入試で２次方程式の問題が出題されると、反射的に 解の公式 を使ってしまうものがいます。
その結果、合格困難な解答を作成してまう。
高校数学で公式を導かずに覚えている生徒の中には、
ワンパターンでしか反応できず、
大学入試で、公式を適切に使えない生徒に成長するものもいます。
(１) ２次方程式 a x ² ＋ b x ＋ c ＝ 0 ・ ・ ・ ① とおく。
①の２つの解を、α , β ( α＜β ) とすると、
①の２つの解は、正と負だから、
α ＜ 0 , 0 ＜ β ・ ・ ・ ② である。
解と係数の関係より、
α＋β ＝ － b / a
αβ ＝ c / a
②より、
αβ ＝ c / a ＜ 0 ・ ・ ・ ③
となるが、
α＋β ＝ － b / a は、正にも 0 にも 負にもなるから、任意の実数である。
( どんな実数だっていい )
よって、－ b / a についての条件はない。
また、①は異なる２つの実数解をもつので、その判別式を Ｄ とすると、
Ｄ ＝ b ² － 4 a c ＞ 0 ・ ・ ・ ④
③,④ より、 c / a ＜ 0 , b ² － 4 a c ＞ 0 となる。
ところが
③より、
c / a ＜ 0
⇔ a c ＜ 0 [ 両辺を a ² 倍した ]
⇔ － 4 a c ＞ 0
⇔ b² － 4 a c ＞ 0 ＋ b² (≧ 0)
⇒ b² － 4 a c ＞ 0 [ ∵ 実数の２乗は 0 以上 ]
ゆえに、 a c ＜ 0 ⇒ b² － 4 a c ＞ 0 が成り立つ。
以上より、
２次方程式 a x ² ＋ b x ＋ c ＝ 0 の解が、 ２つで 正と負のときの
条件式は a c ＜ 0 である。
(２) a x ² ＋ b x ＋ c ＝ 0 ( a ≠ 0 ) ・ ・ ・ ⑤ とおく。
⑤の２つの解を、γ , δ ( γ＜δ ) とすると、
⑤の２つの解は、ともに負だから、
γ ＜ 0 , δ ＜ 0 ・ ・ ・ ⑥ である。
解と係数の関係より、
γ＋δ ＝ － b / a
γδ ＝ c / a
⑥より、
γ＋δ ＝ － b / a ＜ 0 ・ ・ ・ ⑦
γδ ＝ c / a ＞ 0 ・ ・ ・ ⑧
⑦より、 － b / a ＜ 0
－ b / 2a ＜ 0 ・ ・ ・ ⑦’
⑧より、 c / a ＞ 0
a c ＞ 0 ・ ・ ・ ⑧’
また、⑤は異なる２つの実数解をもつので、その判別式を Ｄ とすると、
Ｄ ＝ b ² － 4 a c ＞ 0 ・ ・ ・ ⑨
⑦’, ⑧’, ⑨ より、
a x ² ＋ b x ＋ c ＝ 0 ( a ≠ 0 ) の解が、 ２つで ともに負のときの
条件式は a c ＞ 0 , b ² － 4 a c ＞ 0 , － b / 2a ＜ 0 である。
以上、「 解の公式 」 を使わず、
「 解と係数の関係 」 と 「 判別式 」 を使って解いた。
○ 次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
２次関数は、５つの観点
・ [ ]
・ [ ]の位置
・ 頂点の位置
・ x 軸との[ ]のあるなし と その数 と その位置
・ y 軸との[ ]の位置
すなわち ５つの道具を使うのに対して、
２次方程式は、
「 解の公式 」 と
その 一部である 「 [ ] 」 と
それ から 導ける 「 [ ] 」
の３つの道具を使う。
２次方程式 a x ² ＋ b x ＋ c ＝ 0 と ２次関数 y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c の関係を考えると、
「 解の公式 」 と関係あるのは、 x 軸との共有点の [ ] 座標を求めること。
「 判別式 」 と関係あるのは、 頂点の [ ] 座標であり、すなわち x 軸との共有点の数の判別。
「 解と係数の関係 」の 解の [ ] と関係あるのは、 向き と y 軸との交点の y 座標。
「 解と係数の関係 」の 解の [ ] と関係あるのは、 軸の値。