⑪ y 軸のどの部分と
○ 問いⅠ を解く。
次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
（１） ２次関数 y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c のグラフが、 x 軸の正と負の領域 両方と交わるとき
・ 向きが 下に凸 谷型 のとき、[ a ＞ 0 ] で
x 軸と２点で交わるから、[ b² － 4ac ＞ 0 ] である。
軸の値は、[負]でも 0 でも [正]でもよい。
y 軸との交点は、必ず y 軸の[負]の領域に存在するから、[ c ＜ 0 ] である。
よって、
[ a ＞ 0 ] かつ [ b² － 4ac ＞ 0 ] かつ [ c ＜ 0 ] となる。
・ 向きが 上に凸 山型 のとき、[ a ＜ 0 ] で
x 軸と２点で交わるから、b² － 4ac ＞ 0 である。
軸の値は、負でも 0 でも 正でもよい。
y 軸との交点は、必ず y 軸の[正]の領域に存在するから、[ c ＞ 0 ] である。
よって、
[ a ＜ 0 ] かつ b² － 4ac ＞ 0 かつ [ c ＞ 0 ] となる。
以上より、
答え
（[ a ＞ 0 かつ b² － 4ac ＞ 0 かつ c ＜ 0 ]）
または （[ a ＜ 0 かつ b² － 4ac ＞ 0 かつ c ＞ 0 ]）
しかし、
a と c が異符号のとき、a c ＜ 0 であるから、
a c ＜ 0
4 a c ＜ 0
－4 a c ＞ 0 ・ ・ ・ ①
また、実数の２乗は 0 以上になるから、
b² ≧ 0
b² － 4 a c ≧ 0 －4 a c
b² － 4 a c ≧ －4 a c ＞ 0 （ ∵ ①より ）
b² － 4ac ＞ 0
ゆえに、
a と c が異符号のとき、必ず b² － 4ac ＞ 0 となる。
このように考えると、答えは、
（ a ＞ 0 かつ c ＜ 0 ） または （ a ＜ 0 かつ c ＞ 0 ） である。
（ [ a c ＜ 0 ] とまとめることも可 ）
a と c が異符号であることは、b² － 4ac ＞ 0 であるための [十分]条件 ではあるが、[必要}条件 ではない。
反例 ： a ＝－1 , b ＝－3 , c ＝－2 のとき
（２） y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c （ a ≠ 0 ） のグラフが、 x 軸の正の領域と２点で交わるとき
・ 向きが 下に凸 谷型 のとき、 a ＞ 0 で
x 軸と２点で交わるから、[ b² － 4ac ＞ 0 ] である。
軸の値は、[正]でなければならない。
y 軸との交点は、必ず y 軸の[正]の領域に存在するから、[ c ＞ 0 ] である。
よって、
a ＞ 0 かつ [ b² － 4ac ＞ 0 ] かつ [ －b/2a ＞ 0 ] かつ [ c ＞ 0 ] となる。
・ 向きが 上に凸 山型 のとき、 a ＜ 0 で
x 軸と２点で交わるから、b² － 4ac ＞ 0 である。
軸の値は、正でなければならない。
y 軸との交点は、必ず y 軸の[負]の領域に存在するから、[ c ＜ 0 ] である。
よって、
a ＜ 0 かつ b² － 4ac ＞ 0 かつ －b/2a ＞ 0 かつ [ c ＜ 0 ] となる。
以上より、答えは
（ a ＞ 0 かつ b² － 4ac ＞ 0 かつ －b/2a ＞ 0 かつ c ＞ 0 ）
または （ a ＜ 0 かつ b² － 4ac ＞ 0 かつ －b/2a ＞ 0 かつ c ＜ 0 ） である。
（ a c ＞ 0 かつ b² － 4ac ＞ 0 かつ －b/2a ＞ 0 ） とまとめること可
（３） y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c （ a ≠ 0 ） のグラフが、 x 軸と交わらないとき
答えは b² － 4ac [＜] 0 である。
（４） y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c （ a ≠ 0 ） のグラフが、 x 軸の負の領域と２点で交わるとき
・ 向きが 下に凸 谷型 のとき、 a ＞ 0 で
x 軸と２点で交わるから、[ b² － 4ac ＞ 0 ] である。
軸の値は、[負]でなければならない。
y 軸との交点は、必ず y 軸の[正]の領域に存在するから、[ c ＞ 0 ] である。
よって、
a ＞ 0 かつ [ b² － 4ac ＞ 0 ] かつ [ －b/2a ＜ 0 ] かつ [ c ＞ 0 ] となる。
・ 向きが 上に凸 山型 のとき、 a ＜ 0 で
x 軸と２点で交わるから、b² － 4ac ＞ 0 である。
軸の値は、負でなければならない。
y 軸との交点は、必ず y 軸の[負]の領域に存在するから、[ c ＜ 0 ] である。
よって、
a ＜ 0 かつ b² － 4ac ＞ 0 かつ －b/2a ＜ 0 かつ [ c ＜ 0 ] となる。
以上より、答えは
（ a ＞ 0 かつ b² － 4ac ＞ 0 かつ －b/2a ＜ 0 かつ c ＞ 0 ）
または （ a ＜ 0 かつ b² － 4ac ＞ 0 かつ －b/2a ＜ 0 かつ c ＜ 0 ） である。
（ a c ＞ 0 かつ b² － 4ac ＞ 0 かつ －b/2a ＜ 0 ） とまとめること可
（５） ２次関数 y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c のグラフが、 x 軸の負の領域で接するとき
・ 向きが 下に凸 谷型 のとき、 a ＞ 0 で
x 軸と１点で接するから、[ b² － 4ac ＝ 0 ] である。
軸の値は、[負]でなければならない。
y 軸との交点は、必ず y 軸の[正]の領域に存在するから、[ c ＞ 0 ] である。
よって、
a ＞ 0 かつ [ b² － 4ac ＝ 0 ] かつ [ －b/2a ＜ 0 ] かつ [ c ＞ 0 ] となる。
・ 向きが 上に凸 山型 のとき、 a ＜ 0 で
x 軸と１点で接するから、b² － 4ac ＝ 0 である。
軸の値は、負でなければならない。
y 軸との交点は、必ず y 軸の[負]の領域に存在するから、[ c ＜ 0 ] である。
よって、
a ＜ 0 かつ b² － 4ac ＝ 0 かつ －b/2a ＜ 0 かつ [ c ＜ 0 ] となる。
以上より、答えは
（ a ＞ 0 かつ b² － 4ac ＝ 0 かつ －b/2a ＜ 0 かつ c ＞ 0 ）
または （ a ＜ 0 かつ b² － 4ac ＝ 0 かつ －b/2a ＜ 0 かつ c ＜ 0 ） である。
（ a c ＞ 0 かつ b² － 4ac ＝ 0 かつ －b/2a ＜ 0 ） とまとめること可
（６） ２次関数 y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c のグラフが、 x 軸と原点で接するとき
・ 向きが 下に凸 谷型 のとき、 a ＞ 0 で
x 軸と１点で接するから、[ b² － 4ac ＝ 0 ] である。
軸の値は、[ 0 ]でなければならない。
y 軸との交点は、原点だから、[ c ＝ 0 ] である。
よって、
a ＞ 0 かつ [ b² － 4ac ＝ 0 ] かつ [ －b/2a ＝ 0 ] かつ [ c ＝ 0 ] となる。
・ 向きが 上に凸 山型 のとき、 a ＜ 0 で
x 軸と１点で接するから、b² － 4ac ＝ 0 である。
軸の値は、0 でなければならない。
y 軸との交点は、原点だから、 c ＝ 0 である。
よって、
a ＜ 0 かつ b² － 4ac ＝ 0 かつ －b/2a ＝ 0 かつ c ＝ 0 となる。
以上より、答えは
（ a ＞ 0 かつ b² － 4ac ＝ 0 かつ －b/2a ＝ 0 かつ c ＝ 0 ）
または （ a ＜ 0 かつ b² － 4ac ＝ 0 かつ －b/2a ＝ 0 かつ c ＝ 0 ） である。
（ b ＝ c ＝ 0 ） とまとめること可
すなわち、これは、中３の２次関数 y ＝ a x ² （ a ≠ 0 ） である。
（７） y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c （ a ≠ 0 ） のグラフが、 x 軸と共有点をもつとき
共有点が２つのとき、b² － 4ac [＞] 0
共有点が１つのとき、b² － 4ac [＝] 0
以上より、答えは b² － 4ac [≧] 0 である。
○ 問い Ⅱ
次の (１) と (２) の a , b , c の条件式について、その導出過程を書いてください。
(１) ２次方程式 a x ² ＋ b x ＋ c ＝ 0 の解が、 ２つで 正と負のときの
条件式は a c ＜ 0 である。
(２) a x ² ＋ b x ＋ c ＝ 0 ( a ≠ 0 ) の解が、 ２つで ともに負のときの
条件式は a c ＞ 0 かつ b² － 4ac ＞ 0 かつ －b/2a ＜ 0 である。
次回 ⑫ 方程式を関数で につづきます。