㉙ 『 袋の中から １１ 』
○ 袋の中に、赤玉１個、青玉１個、緑玉１個の合計３個の玉が入っている。
袋から玉を１個取り出し、色を確認して、その玉を袋の中に戻す。これを５回繰り返す。
同じ大きさの正方形が次のように並んでいる。
□□□□□
これら５つの正方形に、左側から順に１回目、２回目、３回目、４回目、５回目の玉の色を塗る。
このとき、次の各問いに答えてください。
ただし、玉の色は袋から取り出すまでわからないものとする。
(１) ５つの正方形が、すべて赤色に塗られる確率は、 ？
(２) ５つの正方形のうち、４つが赤色に塗られる確率は、 ？
(３) ５つの正方形のうち、３つが赤色に塗られる確率は、 ？
(４) ５つの正方形のうち、２つが赤色に塗られる確率は、 ？
(５) ５つの正方形のうち、１つが赤色に塗られる確率は、 ？
(６) ５つの正方形に、赤色が全く塗られない確率は、 ？
(７) 隣り合う正方形どうしが、異なる色に塗られる確率は、 ？
(８) ５つの正方形のうち少なくとも２つは青色に塗られる確率は、 ？
(９) 左右対称に塗られる確率は、 ？
(１０) 隣り合う正方形どうしが、異なる色に塗られ、かつ 左右対称に塗られる確率は、 ？
(１１) 赤１つ、青２つ、緑２つ塗られる確率は、 ？
(１) ■■■■■ (赤、赤、赤、赤、赤) と塗られるから、 ( 1/3 )⁵ より、求める確率は、 1 / 243 である。
(２) ■■■■ (赤、赤、赤、赤) と並んでいるところに、■ か ■ ( 青 か 緑 ) を入れればよい。
■ ■ ■ ■
↑ ↑ ↑ ↑ ↑
青 か 緑を入れる所は、５つある。
よって、 ( 1/3 )⁵ × ２ × ５ より、求める確率は、 10 / 243 である。
(３) ■■■ (赤、赤、赤) と並んでいるところに、
２つひとまとめにして
■■ か ■■ か ■■ か ■■ ( 青青 か 青緑 か 緑青 か 緑緑 ) を入れればよい。
また、２つ別々に
■と■ か ■と■ か ■と■ ( 青と青 か 青と緑 か 緑と緑 ) を入れればよい。
２つひとまとめのとき、入れるところは、４つあるから、４×４ 通り。
２つ別々のとき、青と青、緑と緑 ならば、₄Ｃ₂×２ 通り、 青と緑 ならば、４×３ 通り。
よって、 ( 1/3 )⁵ × ( １６ ＋ １２ ＋ １２ ) より、求める確率は、 40 / 243 である。
(４) 青が３つ、青が２つ緑が１つ、青が１つ緑が２つ、あるいは緑が３つ 並んでいるところに、
２つひとまとめにして 赤赤 を入れればよいから、入れる所４つより、４×１ 通り。
また、２つ別々に 赤と赤 を入れればよいから、₄Ｃ₂ 通り。
青が３つ、青が２つ緑が１つ、青が１つ緑が２つ、あるいは緑が３つ のそれぞれの並べ方を考えて、
( 1/3 )⁵ × ( １＋３＋３＋１ ) × ( ４ ＋ ６ ) より、求める確率は、 80 / 243 である。
(５) 青４つ、青３つ緑１つ、青２つ緑２つ、青１つ緑３つ、あるいは緑４つ のそれぞれの並べ方を考えると、
１通り、４通り、６通り、４通り、１通り。
これらの並んでいるところに、赤を１つ入れればよいから、入れる所５つより、５ 通り。
よって、 ( 1/3 )⁵ × ( １＋４＋６＋４＋１ ) × ５ より、求める確率は、 80 / 243 である。
(６) 青５つ、青４つ緑１つ、青３つ緑２つ、青２つ緑３つ、青１つ緑４つ、あるいは緑５つ のそれぞれの並べ方を
考えると、１通り、５通り、１０通り、１０通り、５通り、１通り。
よって、 ( 1/3 )⁵ × ( １＋５＋１０＋１０＋５＋１ ) より、求める確率は、 32 / 243 である。
(７) １回目３通り、２回目２通り、３回目２通り、４回目２通り、５回目２通り。
だから、( 3/3 ) × ( 2/3 ) × ( 2/3 ) × ( 2/3 ) × ( 2/3 ) より、求める確率は、 16 / 81 である。
(８) 赤、青、緑の塗られ方は、対称的だから、
(５), (６) より、余事象を使い、
1 － ( 80/243 ＋ 32/243 ) を計算し、求める確率は、 131 / 243 である。
(９) １回目３通り、２回目３通り、３回目３通り、４回目１通り、５回目１通り。
だから、( 3/3 ) × ( 3/3 ) × ( 3/3 ) × ( 1/3 ) × ( 1/3 ) より、求める確率は、 1 / 9 である。
(１０) １回目３通り、２回目２通り、３回目２通り、４回目１通り、５回目１通り。
だから、( 3/3 ) × ( 2/3 ) × ( 2/3 ) × ( 1/3 ) × ( 1/3 ) より、求める確率は、 4 / 81 である。
(１１) ５つのうち赤が１つ、残り４つのうち青が２つ、残り２つのうち緑が２つ だから、
( 1/3 )⁵ × ₅Ｃ₁ × ₄Ｃ₂ × ₂Ｃ₂ より、求める確率は、 10 / 81 である。
１回目で 赤の確率は 1 / 3 、青か緑の確率は 2 / 3
２回目で 赤の確率は 1 / 3 、青か緑の確率は 2 / 3
３回目で 赤の確率は 1 / 3 、青か緑の確率は 2 / 3
４回目で 赤の確率は 1 / 3 、青か緑の確率は 2 / 3
５回目で 赤の確率は 1 / 3 、青か緑の確率は 2 / 3
だから、
投げると 毎回 同様に確からしい事象である表か裏のどちらかになるコインを使った問題 ( ⑯ 『余事象』 )
と同じように、
同じ試行の繰り返し、毎回 事象の確率が変わらない、おこる事象が独立である独立試行 ( 反復試行 ) なので、
(１) ～ (６) の別解は
(１) ₅Ｃ₅ × ( 1/3 ) ⁵ より、 1 / 243
(２) ₅Ｃ₄ × ( 1/3 ) ⁴ × ( 2/3 ) より、 10 / 243
(３) ₅Ｃ₃ × ( 1/3 ) ³ × ( 2/3 ) ² より、 40 / 243
(４) ₅Ｃ₂ × ( 1/3 ) ² × ( 2/3 ) ³ より、 80 / 243
(５) ₅Ｃ₁ × ( 1/3 ) ¹ × ( 2/3 ) ⁴ より、 80 / 243
(６) ₅Ｃ₀ × ( 1/3 ) ⁰ × ( 2/3 ) ⁵ より、 32 / 243 である。 ( ∵ a ⁰ ＝ 1 )
今回で テーマ 「確率」 を終了します。
この２９回の内容の程度は、中学レベルから、高校レベル、大学入試センター試験レベルです。
定期対策・入試対策に利用してください。
次回は 『 速さの公式は使えるように ２ 』 です。