㉗ 『 袋の中から ９ 』

　　　　　　　　㉗ 『 袋の中から ９ 』

　　○　袋の中に、 赤玉３個　●　●　●
　　　　　　　　　　　　青玉３個　●　●　●
　　　　　　　　　　　　緑玉３個　●　●　●　 の９個の玉が入っている。
　　　　袋から ３個の玉を 同時に 取り出す。
　　　　このとき、以下の各問いに答えてください。
　　　　( ただし、玉の色は袋から取り出すまでわからないものとする。)

　　(１)　取り出した３個の玉が、赤玉１個、緑玉２個である確率は、　？
　　(２)　取り出した３個の玉が、すべて赤玉である確率は、　？
　　(３)　少なくとも赤玉が２個である確率は、　？


　　(１)　１つの解答
　　　　　　　　　　　　　袋の中で、赤玉１個、緑玉２個を、[ 赤、緑、緑 ] の順で握りしめて取り出したとすると、
　　　　　　　　　　　　　この確率は、　( 3/9 ) × ( 3/8 ) × ( 2/7 )　である。
　　　　　　　　　　　　　他に[ 緑、赤、緑 ], [ 緑、緑、赤 ] の順で握りしめても取り出せるから、
　　　　　　　　　　　　　　( 3/9 ) × ( 3/8 ) × ( 2/7 )　×₃Ｃ₁　より、求める確率は、　3 / 28　　である。
　　　　　もう１つの解答
　　　　　　　　　　　　　　　９個 から ３個選ぶ 選び方は、　₉Ｃ₃　 ( ＝ ( ９ ・ ８ ・ ７ ) / ( ３ ・ ２ ・ １ )　)
　　　　　　　　　　　　　　　赤玉３個 から 赤玉１個選ぶ 選び方は、　₃Ｃ₁　 ( ＝ ３　)
　　　　　　　　　　　　　　　緑玉３個 から 緑玉２個選ぶ 選び方は、　₃Ｃ₂　 ( ＝ ３　)
　　　　　　　　　　　　　　　よって、　( ₃Ｃ₁ ・ ₃Ｃ₂ )　/　( ₉Ｃ₃ )　より、求める確率は、　3 / 28　　である。

　　(２)　１つの解答
　　　　　　　　　　　　　袋の中で、赤玉３個を、[ 赤、赤、赤 ] の順のみで握りしめて取り出すから、
　　　　　　　　　　　　　　( 3/9 ) × ( 2/8 ) × ( 1/7 )　より、求める確率は、　1 / 84　　である。
　　　　　もう１つの解答
　　　　　　　　　　　　　　　 ₃Ｃ₃　/　₉Ｃ₃　　より、求める確率は、　1 / 84　　である。

　　(３)　赤玉が２個含まれる確率を求める。
　　　　　　残りの１個は、青玉３個、緑玉３個のどれでもよいから、
　　　　　　　( ₃Ｃ₂ ・ ₆Ｃ₁ )　/　( ₉Ｃ₃ )　より、赤玉が２個含まれる確率は、3 / 14　である。
　　　　　　(２) より、赤玉が３個の確率は、1 / 84　だから、
　　　　　　　( 3/14 )　＋　( 1/84 )　　を計算して、
　　　　　求める確率は、　19 / 84　　である。


　　○　袋の中に、 赤玉３個　●　●　●
　　　　　　　　　　　　青玉３個　●　●　●
　　　　　　　　　　　　緑玉２個　●　●　 
　　　　　　　　　　　　黒玉４個　●　●　●　●　の１２個の玉が入っている。
　　　　袋から  ４個の玉を 同時に 取り出す。
　　　　このとき、以下の各問いに答えてください。
　　　　( ただし、玉の色は袋から取り出すまでわからないものとする。)

　　(１)　取り出した４個の玉が、青玉３個、緑玉１個である確率は、　？
　　(２)　取り出した４個の玉が、赤玉３個、黒玉１個である確率は、　？
　　(３)　取り出した４個の玉が、赤玉１個、青玉２個、緑玉１個である確率は、　？
　　(４)　少なくとも黒玉が１個である確率は、　？
　　(５)　少なくとも赤玉が２個である確率は、　？


　　(１)　　( ₃Ｃ₃ ・ ₂Ｃ₁ )　/　( ₁₂Ｃ₄ )　より、　2 / 495　である。
　　(２)　　( ₃Ｃ₃ ・ ₄Ｃ₁ )　/　( ₁₂Ｃ₄ )　より、　4 / 495　である。
　　(３)　　( ₃Ｃ₁ ・ ₃Ｃ₂ ・ ₂Ｃ₁ )　/　( ₁₂Ｃ₄ )　より、　2 / 55　である。

　　(４)　黒玉が０個である確率を求める。
　　　ⅰ)　緑玉が０個のとき、
　　　　　　(赤玉３個、青玉１個) , (赤玉２個、青玉２個) , (赤玉１個、青玉３個) の３つの場合があるから、
　　　　　{ ( ₃Ｃ₃ ・ ₃Ｃ₁ ) / ( ₁₂Ｃ₄ ) }＋{ ( ₃Ｃ₂ ・ ₃Ｃ₂ ) / ( ₁₂Ｃ₄ ) }＋{ ( ₃Ｃ₁ ・ ₃Ｃ₃ ) / ( ₁₂Ｃ₄ ) }　を計算すると、
　　　　　　　　1 / 33　　になる。

　　　ⅱ)　緑玉が１個のとき、
　　　　　　(緑１、赤３) , (緑１、赤２、青１) , (緑１、赤１、青２) , (緑１、青３) の４つの場合がある。
　　　　　　　{ ( ₂Ｃ₁ ・ ₃Ｃ₃ ) / ( ₁₂Ｃ₄ ) } ＋ { ( ₂Ｃ₁ ・ ₃Ｃ₂ ・ ₃Ｃ₁ ) / ( ₁₂Ｃ₄ ) }
　　　　　＋ { ( ₂Ｃ₁ ・ ₃Ｃ₁ ・ ₃Ｃ₂ ) / ( ₁₂Ｃ₄ ) } ＋ { ( ₂Ｃ₁ ・ ₃Ｃ₃ ) / ( ₁₂Ｃ₄ ) }　を計算すると、
　　　　　　　　8 / 99　　になる。

　　　ⅲ)　緑玉が２個のとき、
　　　　　　(緑２、赤２) , (緑２、赤１、青１) , (緑２、青２) の３つの場合がある。
　　　　　　　{ ( ₂Ｃ₂ ・ ₃Ｃ₂ ) / ( ₁₂Ｃ₄ ) } ＋ { ( ₂Ｃ₂ ・ ₃Ｃ₁ ・ ₃Ｃ₁ ) / ( ₁₂Ｃ₄ ) }
　　　　　＋ { ( ₂Ｃ₂ ・ ₃Ｃ₂ ) / ( ₁₂Ｃ₄ ) }　　を計算すると、
　　　　　　　　1 / 33　　になる。

　　ⅰ),ⅱ),ⅲ) より、黒玉が０個である確率は、14 / 99　である。
　　　黒玉が０個であることは、少なくとも黒玉が１個であることの余事象 だから、
　　　　1　－　( 14 / 99 )　を計算して、求める確率は、　85 / 99　　である。

　　(５)　ⅰ)　赤玉２個のとき、
　　　　　　　　(赤２、青２) , (赤２、青１、緑１) ,
　　　　　　　　(赤２、青１、黒１) , (赤２、緑２) ,
　　　　　　　　(赤２、緑１、黒１) , (赤２、黒２) の６つの場合がある。
　　　　　　　　　{ ( ₃Ｃ₂ ・ ₃Ｃ₂ ) / ( ₁₂Ｃ₄ ) } ＋ { ( ₃Ｃ₂ ・ ₃Ｃ₁ ・ ₂Ｃ₁ ) / ( ₁₂Ｃ₄ ) }
　　　　　　　＋ { ( ₃Ｃ₂ ・ ₃Ｃ₁ ・ ₄Ｃ₁ ) / ( ₁₂Ｃ₄ ) } ＋ { ( ₃Ｃ₂ ・ ₂Ｃ₂ ) / ( ₁₂Ｃ₄ ) }
　　　　　　　＋ { ( ₃Ｃ₂ ・ ₂Ｃ₁ ・ ₄Ｃ₁ ) / ( ₁₂Ｃ₄ ) } ＋ { ( ₃Ｃ₂ ・ ₄Ｃ₂ ) / ( ₁₂Ｃ₄ ) }　を計算すると、
　　　　　　　　　　12 / 55　　になる。

　　　　　ⅱ)　赤玉３個のとき、
　　　　　　　　(赤３、青１) , (赤３、緑１) , (赤３、黒１) の３つの場合がある。
　　　　　　　　　{ ( ₃Ｃ₃ ・ ₃Ｃ₁ ) / ( ₁₂Ｃ₄ ) } ＋ { ( ₃Ｃ₃ ・ ₂Ｃ₁ ) / ( ₁₂Ｃ₄ ) } ＋ { ( ₃Ｃ₃ ・ ₄Ｃ₁ ) / ( ₁₂Ｃ₄ ) }　を
　　　　　　　　計算すると、　1 / 55　　になる。

　　　　ⅰ),ⅱ) より、少なくとも赤玉が２個である確率は、　13 / 55　　である。


○　袋の中に、赤玉１個、青玉１個、緑玉１個の合計３個の玉が入っている。
　　袋から玉を１個取り出し、色を確認して、その玉を袋の中に戻す。これを３回繰り返す。
　　同じ大きさの正方形が次のように並んでいる。
　　　　□□□
　　これら３つの正方形に、左側から順に１回目、２回目、３回目の玉の色を塗る。
　　このとき、次の各問いに答えてください。
　　ただし、玉の色は袋から取り出すまでわからないものとする。

　　(１)　３つの正方形が、左側から順に、赤色、青色、緑色に塗られる確率は、　？
　　(２)　３つの正方形が、すべて緑色に塗られる確率は、　？
　　(３)　３つの正方形が、３色に塗られる確率は、　？
　　(４)　隣り合う正方形どうしが、異なる色に塗られる確率は、　？
　　(５)　３つの正方形のうち少なくとも１つは青色に塗られる確率は、　？
　　(６)　左右対称に塗られる確率は、　？　
　　(７)　隣り合う正方形どうしが、異なる色に塗られ、かつ　左右対称に塗られる確率は、　？


次回　　㉘ 『 袋の中から １０ 』　に続きます。