㉔ 『 袋の中から ６ 』
○ 袋の中に、数字をかいた ① ② ② ③ ③ ③ ④ ④ ④ ④ の１０個の玉が入っている。
袋から玉を１つずつ ３回 取り出す。取り出した玉は戻さない。
１回目に取り出した玉の数字を百の位の数に、
２回目に取り出した玉の数字を十の位の数に、
３回目に取り出した玉の数字を一の位の数にして、整数をつくる。
このとき、以下の各問いに答えてください。
( ただし、数字は袋から取り出すまでわからないものとする。)
（１） 整数が ２の倍数 になる確率を求めなさい。
（２） 整数が ３の倍数 になる確率を求めなさい。
（３） 整数が ４の倍数 になる確率を求めなさい。
（４） 整数が ５の倍数 になる確率を求めなさい。
（５） 整数が ６の倍数 になる確率を求めなさい。
同様に確からしいすべての事象は、１０ × ９ × ８ より、７２０通り ある。
(１) 一の位の数を決めて、
その各々の場合について、百の位の数を決めて、
その各々の場合について、十の位の数を決める と考えてもよい。
２の倍数は、一の位の数が偶数であるから、一の位の数に６個の玉が使える。
同様に確からしいすべての事象は、一の位の数に１０個の玉が使える。
そして、それぞれ その各々の場合について、百の位の数に９個、
その各々の場合について、十の位の数に８個使える。
よって、求める確率は、6 / 10 すなわち 3 / 5 である。
(２) 各位の数の和が３の倍数になる数字の組合せは、
( 1 2 3 ) , ( 1 4 4 ) , ( 2 3 4 ) , ( 3 3 3 ) , ( 4 4 4 ) であるから、
それぞれの取り出し方は、( 1 2 3 ) が ２つ × ３つ × ３！で ３６
( 1 4 4 ) が ４つ × ３つ × ₃Ｃ₁ で ３６
( 2 3 4 ) が ２つ × ３つ × ４つ × ３！で １４４
( 3 3 3 ) が ３つ × ２つ × １つ で ６
( 4 4 4 ) が ４つ × ３つ × ２つ で ２４
よって、求める確率は、246 / 720 すなわち 41 / 120 である。
(３) ４の倍数は、下２桁が４の倍数であるから、
下２桁が、[ 1 2 ] , [ 2 4 ] , [ 3 2 ] , [ 4 4 ] になる。
この各々の場合について、百の位の数は、残りの８個を使えるから、
それぞれの取り出し方は、[ 1 2 ] が ２つ × ８ で １６
[ 2 4 ] が ２つ × ４つ × ８ で ６４
[ 3 2 ] が ３つ × ２つ × ８ で ４８
[ 4 4 ] が ４つ × ３つ × ８ で ９６
よって、求める確率は、224 / 720 すなわち 14 / 45 である。
(４) ５の倍数は、一の位の数が、[ 0 ] か [ 5 ] である。
[ 0 ] と [ 5 ] の数字をかいた玉はないので、求める確率は、 0 である。
(５) ６の倍数は、２の倍数 かつ ３の倍数 であるから、
(２) より、
一の位の数を考えて
６の倍数になる取り出し方は、
[ 1 3 2 ] と [ 3 1 2 ] で、 ３つ × ２つ × ２ より、 １２
[ 1 4 4 ] と [ 4 1 4 ] で、 ４つ × ３つ × ２ より、 ２４
[ 2 3 4 ] と [ 3 2 4 ] と [ 3 4 2 ] と [ 4 3 2 ] で、 ２つ × ３つ × ４つ × ４ より、 ９６
[ 4 4 4 ] で、 ４つ × ３つ × ２つ より、 ２４
よって、求める確率は、156 / 720 すなわち 13 / 60 である。
○ 袋の中に、数字をかいた ⓪ ① ② ③ ④ ⑤ の６つの玉が入っている。
袋から玉を１つずつ ４個 取り出す。取り出した玉は戻さない。
しかし、１個目だけは ⓪ をとり出したら戻して、⓪ 以外が出るまで取り直す。
１個目に取り出した玉の数字を千の位の数に、
２個目に取り出した玉の数字を百の位の数に、
３個目に取り出した玉の数字を十の位の数に、
４個目に取り出した玉の数字を一の位の数にして、４桁の整数をつくる。
このとき、以下の各問いに答えてください。
( ただし、数字は袋から取り出すまでわからないものとする。)
（１） 整数が ２の倍数 になる確率を求めなさい。
（２） 整数が ３の倍数 になる確率を求めなさい。
（３） 整数が ４の倍数 になる確率を求めなさい。
（４） 整数が ５の倍数 になる確率を求めなさい。
（５） 整数が ６の倍数 になる確率を求めなさい。
千の位の数は、⓪ が使えないから、５通り、
その各々の場合について、百の位の数は、５通り、
その各々の場合について、十の位の数は、４通り、
その各々の場合について、一の位の数は、３通り。
よって、
同様に確からしいすべての事象は、５ × ５ × ４ × ３ より、 ３００通り。
(１) ⅰ) 一の位の数が、 0 のとき、１ × ５ × ４ × ３ より、 ６０通り。
ⅱ) 一の位の数が、 0 以外の偶数のとき、２ × ４ × ４ × ３ より、 ９６通り。
以上より、求める確率は、156 / 300 すなわち 13 / 25 である。
(２) ３の倍数になる数の組合せは、
( 0 1 2 3 ) , ( 0 1 3 5 ) . ( 0 2 3 4 ) , ( 0 3 4 5 ) , ( 1 2 4 5 ) だから、
( 0 1 2 3 ) , ( 0 1 3 5 ) . ( 0 2 3 4 ) , ( 0 3 4 5 ) の取り出し方は、３ × ３ × ２ × １ ×４ より、７２
( 1 2 4 5 ) の取り出し方は、４！より、２４
よって、求める確率は、96 / 300 すなわち 8 / 25 である。
(３) ４の倍数は、下２桁が４の倍数であるから、
下２桁が、[ 2 0 ] , [ 4 0 ] , [ 1 2 ] , [ 3 2 ] , [ 5 2 ] , [ 0 4 ] . [ 2 4 ] になる。
[ 2 0 ], [ 4 0 ], [ 0 4 ] の取り出し方は、その各々の場合について、千の位の数に４個、
その各々の場合について、百の位の数に３個使えるから、
４ × ３ ×３ より、 ３６
[ 1 2 ], [ 3 2 ], [ 5 2 ], [ 2 4 ] の取り出し方は、その各々の場合について、千の位の数に３個、
その各々の場合について、百の位の数に３個使えるから、
３ × ３ ×４ より、 ３６
よって、求める確率は、72 / 300 すなわち 6 / 25 である。
(４) ５の倍数は、一の位の数が、[ 0 ] か [ 5 ] である。
ⅰ) 一の位の数が 0 のとき、５ × ４ × ３ より、 ６０
ⅱ) 一の位の数が 5 のとき、４ × ４ × ３ より、 ４８
よって、求める確率は、108 / 300 すなわち 9 / 25 である。
(５) ６の倍数は、２の倍数 かつ ３の倍数 であるから、
(２) より、
６の倍数になる取り出し方は、
( 0 1 2 3 ) は、一の位の数が 0 のとき、３ × ２ × １
一の位の数が 2 のとき、２ × ２ × １ よって、 １０通り。
( 0 3 4 5 ) も 同様に、 １０通り。
( 0 1 3 5 ) は、一の位の数に 0 しか使えないから、３ × ２ × １ より、 ６通り。
( 0 2 3 4 ) は、一の位の数が 0 のとき、３ × ２ × １
一の位の数が 2 か 4 のとき、２ × ２ × １ ×２ よって、 １４通り。
( 1 2 4 5 ) は、一の位の数が 2 か 4 だから、３ × ２ × １ ×２ より、 １２通り。
以上より、求める確率は、52 / 300 すなわち 13 / 75 である。
○ 袋の中に、数字をかいた ① ① ① ② ② ② ③ ③ ③ の９個の玉が入っている。
袋から玉を１個ずつ ３回 取り出す。取り出した玉は戻さない。
１回目に取り出した玉の数字を百の位の数に、
２回目に取り出した玉の数字を十の位の数に、
３回目に取り出した玉の数字を一の位の数にして、整数をつくる。
このとき、以下の各問いに答えてください。
( ただし、数字は袋から取り出すまでわからないものとする。)
(１) 整数が 1 1 1 である確率は、 ？
(２) 整数が 1 2 2 である確率は、 ？
(３) 整数が 3 2 1 である確率は、 ？
(４) 整数が ３の倍数 である確率は、 ？
(５) 整数が ６の倍数 である確率は、 ？
○ 袋の中に、 赤玉３個 ● ● ●
青玉３個 ● ● ●
緑玉３個 ● ● ● の９個の玉が入っている。
袋から玉を１個ずつ ３回 取り出す。取り出した玉は戻さない。
このとき、以下の各問いに答えてください。
( ただし、玉の色は袋から取り出すまでわからないものとする。)
(１) 赤、青、緑 の順で取り出す確率は、 ？
(２) 赤、赤、緑 の順で取り出す確率は、 ？
(３) 取り出した３個の玉が、赤玉１個、青玉２個である確率は、 ？
(４) 取り出した３個の玉が、赤玉１個、青玉１個、緑玉１個である確率は、 ？
次回 ㉕ 『 袋の中から ７ 』 に続きます。