⑯ 『 余事象 』
○ コインを１枚、４回投げる。このとき、次の問いに答えてください。
ただし、表がでる事象 と 裏がでる事象 は、同様に確からしいし、
それ以外の事象 ( 例えば、表や裏にならずコインが立つ。) は起こらないとする。
ⅰ) ４回とも裏がでる確率は ？
ⅱ) 表が２回、裏が２回でる確率は ？
次の ( ) に適切な語句や式などを入れてください。
１つの解答
ⅰ) １枚のコインを４回投げると、
１回目は 表 と 裏の)(２)通り、
その各々の場合について、２回目は 表 と 裏の(２)通り、
その各々の場合について、３回目は 表 と 裏の(２)通り、
その各々の場合について、４回目は 表 と 裏の(２)通り。
よって、 同様に確からしい すべての事象は、 ( ２ × ２ × ２ × ２ ) 通り。
また、
４回とも裏がでる とは、１回目は 裏 の(１)通り、
２回目は 裏 の(１)通り、
３回目は 裏 の(１)通り、
４回目は 裏 の(１)通り に決まるということである。
よって、４回とも裏がでる事象は、 ( １ × １ × １ × １ ) 通り。
ゆえに、 ( １×１×１×１ ) / ( ２×２×２×２ ) ＝ (1/2)⁴ より、
４回とも裏がでる確率は、 ( 1 / 16 ) である。
ⅱ） 表が２回、裏が２回でる とは、
１回目は、表 の１通り、
２回目は、表 の１通り、
３回目は、裏 の１通り、
４回目は、裏 の１通り に決まる場合だけで ( はない ) 。
表が２回、裏が２回でる とは、４回の試行のうち２回表 (２回裏) がでるということだから、
４回のうち 表がでる２回 を選ぶことが必要。
(４)つ から (２)つ選ぶ 選び方は、 ₄Ｃ₂ 通り。
これは １枚のコインを４回投げて 表が２回、裏が２回でる 場合の数。
この各々の場合について、( １×１×１×１ ) / ( ２×２×２×２ ) が成り立つ。
よって、₄Ｃ₂ × ( １×１×１×１ ) / ( ２×２×２×２ ) ＝ ６ × (1/2)⁴ より、
表が２回、裏が２回でる確率は、( 3 / 8 ) である。
○ コインを１枚、６回投げる。このとき、次の問いに答えてください。
ただし、表がでる事象 と 裏がでる事象 は、同様に確からしいし、
それ以外の事象 ( 例えば、表や裏にならずコインが立つ。) は起こらないとする。
ⅰ) 裏が４回でる確率は ？
ⅱ) 表が３回でる確率は ？
１つの解答
ⅰ) ６回投げて裏が４回でる とは、 表が２回でて、裏が４回でる ことである。
表が２回でる確率は、(1/2) ² であり、
裏が４回でる確率は、(1/2) ⁴ である。
６回のうち 表がでる２回 の選び方は、₆Ｃ₂ である。
よって、
６回投げて裏が４回でる確率は、₆Ｃ₂ × (1/2)² × (1/2)⁴ より、 15 / 64 である。
ⅱ) ６回投げて表が３回でる確率は、
₆Ｃ₃ × (1/2)³ × (1/2)³ より、 5 / 16 である。
○ １枚のコインを９回投げる。次の問いに答えてください。
ただし、表がでる事象 と 裏がでる事象 は、同様に確からしいし、
それ以外の事象 ( 例えば、表や裏にならずコインが立つ。) は起こらないとする。
ⅰ) 裏が９回でる確率は ？
ⅱ) 表が１回でる確率は ？
ⅲ) 表が少なくとも１回でる確率は ？
ⅳ) 表が少なくとも３回出る確率は ？
ⅰ) ～ ⅲ) は ( ) に適切な語句や式などを入れて求めてください。
ⅰ) １つの解答
１回の試行では、表がでる あるいは 裏がでる の２通りの事象が生じる。
この試行を９回するから、 ２⁹ より、
同様に確からしい すべての事象は、( ) 通りある。
この中で、裏が９回でる事象は、( ) 通りだから、
裏が９回でる確率は、 ( ) である。
ⅱ) １つの解答
９回の試行のうち、表が１回だから、
表が１回、裏が( ) 回でる確率は、
( ) × (1/2) × (1/2) ⁸ ＝ ９ × (1/2) ⁹ より、 ( ) である。
ⅲ) 余事象 を使った解答
表が少なくとも１回でる確率 とは、
表が１回でる確率 と
表が２回でる確率 と
表が３回でる確率 と
表が４回でる確率 と
表が５回でる確率 と
表が６回でる確率 と
表が７回でる確率 と
表が８回でる確率 と
表が９回でる確率 を 足したもの に等しい。
これを求めるのは、少し大変です。
そこで、表が少なくとも１回でる事象 の 余事象の確率を求め、
全事象の確率 1 から それをひいて、求めることになる。
表が少なくとも１回でる事象 の 余事象 とは、
表が１回もでない すなわち ( ) 回とも裏がでる ということである。
よって、
ⅰ) の結果を使って、 1 － ( 1 / 512 ) より、
表が少なくとも１回でる確率は、 ( ) である。
ⅳ) を、余事象を使って、求めてください。
次回 ⑰ 『 複数のコインを 』 に続きます。