⑰ 『 複数のコインを 』
○ １枚のコインを９回投げる。次の問いに答えてください。
ただし、表がでる事象 と 裏がでる事象 は、同様に確からしいし、
それ以外の事象 ( 例えば、表や裏にならずコインが立つ。) は起こらないとする。
ⅰ) 裏が９回でる確率は ？
ⅱ) 表が１回でる確率は ？
ⅲ) 表が少なくとも１回でる確率は ？
ⅳ) 表が少なくとも３回出る確率は ？
ⅰ) ～ ⅲ) は ( ) に適切な語句や式などを入れて求めてください。
ⅰ) １つの解答
１回の試行では、表がでる あるいは 裏がでる の２通りの事象が生じる。
この試行を９回するから、 ２⁹ より、
同様に確からしい すべての事象は、( ５１２ ) 通りある。
この中で、裏が９回でる事象は、( １ ) 通りだから、
裏が９回でる確率は、 ( 1 / 512 ) である。
ⅱ) １つの解答
９回の試行のうち、表が１回だから、
表が１回、裏が( ８ ) 回でる確率は、
( ₉Ｃ₁ ) × (1/2) × (1/2) ⁸ ＝ ９ × (1/2) ⁹ より、 ( 9 / 512 ) である。
ⅲ) 余事象 を使った解答
表が少なくとも１回でる確率 とは、
表が１回でる確率 と
表が２回でる確率 と
表が３回でる確率 と
表が４回でる確率 と
表が５回でる確率 と
表が６回でる確率 と
表が７回でる確率 と
表が８回でる確率 と
表が９回でる確率 を 足したもの に等しい。
これを求めるのは、少し大変です。
そこで、表が少なくとも１回でる事象 の 余事象の確率を求め、
全事象の確率 1 から それをひいて、求めることになる。
表が少なくとも１回でる事象 の 余事象 とは、
表が１回もでない すなわち ( ９ ) 回とも裏がでる ということである。
よって、
ⅰ) の結果を使って、 1 － ( 1 / 512 ) より、
表が少なくとも１回でる確率は、 ( 511 / 512 ) である。
ⅳ) を、余事象を使って、求めてください。
９回投げて表が２回でる確率を求めると、
₉Ｃ₂ × (1/2)² × (1/2)⁷ より、 36 / 512 である。
これ と ⅰ) , ⅱ) の結果 を使って、
1 － ( 1 / 512 ) － ( 9 / 512 ) － ( 36 / 512 ) から、
求める確率は、 233 / 256 である。
○ ５枚のコインを１回投げる。このとき、次の問いに答えてください。
ただし、すべてのコインの 表がでる事象 と 裏がでる事象 は、同様に確からしいし、
それ以外の事象 ( 例えば、表や裏にならずコインが立つ。) は起こらないとする。
ⅰ) 表が３枚になる確率は ？
ⅱ) 裏が３枚になる確率は ？
次の ( ) に適切な語句や式などを入れてください。
同様に確からしい すべての事象 を書き出してみる。
[ １枚目 ２枚目 ３枚目 ４枚目 ５枚目 ]
＝ [ お お お お お ] , [ お お お お う ] , [ お お お う お ] , [ お お お う う ] ,
[ お お う お お ] , [ お お う お う ] , [ お お う う お ] , [ お お う う う ] ,
[ ( ) ] , [ ( ) ] , [ ( ) ] , [ ( ) ] ,
[ ( ) ] , [ ( ) ] , [ ( ) ] , [ ( ) ] ,
[ ( ) ] , [ ( ) ] , [ ( ) ] , [ ( ) ] ,
[ う お う お お ] , [ う お う お う ] , [ う お う う お ] , [ う お う う う ] ,
[ ( ) ] , [ ( ) ] , [ ( ) ] , [ ( ) ] ,
[ う う う お お ] , [ う う う お う ] , [ う う う う お ] , [ う う う う う ] 以上 ３２ 通り。
ⅰ) 表が３枚になる事象は、( ) あるから、表が３枚になる確率は、 ( ) 。
ⅱ) 裏が３枚になる事象は、( ) あるから、裏が３枚になる確率は、 ( ) 。
○ ４枚のコインを１回投げる。このとき、次の問いに答えてください。
ただし、すべてのコインの 表がでる事象 と 裏がでる事象 は、同様に確からしいし、
それ以外の事象 ( 例えば、表や裏にならずコインが立つ。) は起こらないとする。
ⅰ) 表が０枚になる確率は ？
ⅱ) 表が１枚になる確率は ？
ⅲ) 表が２枚になる確率は ？
ⅳ) 表が３枚になる確率は ？
ⅴ) 表が４枚になる確率は ？
ⅵ) 裏が少なくとも２枚になる確率は ？
次の ( ) に適切な語句や式などを入れてください。
ⅰ)
₄Ｃ₀ × (1/2) ⁰ × (1/2) ⁴ ＝ １ × 1 × (1 / 16) より、 1 / 16 。
ⅱ)
₄Ｃ₁ × (1/2) ¹ × (1/2) ³ ＝ ４ × (1 / 16) より、 1 / 4 。
ⅲ)
₄Ｃ₂ × (1/2) ² × (1/2) ² ＝ ( ) × (1 / 16) より、 ( ) 。
ⅳ)
( )× (1/2) ³ × (1/2) ¹ ＝ ( ) × (1 / 16) より、 ( ) 。
ⅴ)
₄Ｃ₄ × (1/2) ⁴ × (1/2) ⁰ ＝ ( ) × (1 / 16) × 1 より、 ( ) 。
ⅵ)
裏が０枚になる確率は、 ⅴ) より、 1 / 16
裏が１枚になる確率は、 ⅳ) より、 1 / 4 だから、
( ) を使って、
1 － ( 1 / 16 ) － ( 1 / 4 ) を計算すると、
裏が少なくとも２枚になる確率は、 ( ) である。
○ １０枚のコインを１回投げる。このとき、次の問いに答えてください。
ただし、すべてのコインの 表がでる事象 と 裏がでる事象 は、同様に確からしいし、
それ以外の事象 ( 例えば、表や裏にならずコインが立つ。) は起こらないとする。
ⅰ) 裏が １０枚になる確率は ？
ⅱ) 表が １枚になる確率は ？
ⅲ) 表が少なくとも １枚になる確率は ？
ⅳ) 表が少なくとも ３枚になる確率は ？
次回 ⑱ 『 さいころを振る 』 に続きます。