⑪ 『 同じものがある ４ 』
○ 1⃣ , 1⃣ , 1⃣ , 2⃣ , 2⃣ , 2⃣ , 3⃣ , 3⃣ , 3⃣ の９枚のカードがある。
この中 から ７枚選んで 一列に並べて整数をつくる。
何通りの整数ができるか求めなさい。
(１つの解答) ９枚 から ２枚除外する場合を考えて求める。
除外できる２枚のカードは、( 1 1 ) , ( 2 2 ) , ( 3 3 ) , ( 1 2 ) , ( 1 3 ) , ( 2 3 ) の６通り。
除外する２枚のカードを ( 1 1 ) , ( 2 2 ) , ( 3 3 ) とすると、
( 1 2 2 2 3 3 3 ) , ( 1 1 1 2 3 3 3 ) , ( 1 1 1 2 2 2 3 ) の ３組の並べ方 を考えればよいから、
₇Ｃ₃ × ₄Ｃ₃ × ₁Ｃ₁ × ３ より、 ４２０通り。
さらに、除外する２枚のカードを ( 1 2 ) , ( 1 3 ) , ( 2 3 ) とすると、
( 1 1 2 2 3 3 3 ) , ( 1 1 2 2 2 3 3 ) , ( 1 1 1 2 2 3 3 ) ３組の並べ方 を考えればよいから、
₇Ｃ₃ × ₄Ｃ₂ × ₂Ｃ₂ × ３ より、 ６３０通り。
よって、 ４２０ ＋ ６３０ より、
( 答え ) １０５０通り。
○ 1⃣ , 1⃣ , 1⃣ , 2⃣ , 2⃣ , 2⃣ , 3⃣ , 3⃣ , 3⃣ の９枚のカードがある。
この中 から ８枚選んで 一列に並べて整数をつくる。
何通りの整数ができるか求めなさい。
(１つの解答) ９枚 から １枚除外する場合を考えて求める。
除外できる１枚のカードは ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) の３通り。
よって、( 1 1 2 2 2 3 3 3 ) , ( 1 1 1 2 2 3 3 3 ) , ( 1 1 1 2 2 2 3 3 ) の ３組の並べ方 を考えればよい。
₈Ｃ₃ × ₅Ｃ₃ × ₂Ｃ₂ × ３ より、
( 答え ) １６８０通り。
○ 1⃣ , 1⃣ , 1⃣ , 2⃣ , 2⃣ , 2⃣ , 3⃣ , 3⃣ , 3⃣ の９枚のカードがある。
この中 から ９枚選んで 一列に並べて整数をつくる。
何通りの整数ができるか求めなさい。
( 1 1 1 2 2 2 3 3 3 ) の並べ方を考えればよいから、
₉Ｃ₃ × ₆Ｃ₃ × ₃Ｃ₃ より、
( 答え ) １６８０通り。
【 同じものがあるときの順列 】
カードが２枚あって、1⃣ が１枚、2⃣ が１枚 である。
このとき、２枚の一列の並べ方は、
₂Ｃ₁ × ₁Ｃ₁ ＝ ( 2 / 1 ) × ( 1 / 1 ) ＝ ( 2・1 ) / ( 1・1 ) ＝ 2 ! / ( 1 ! 1 ! )
カードが４枚あって、1⃣ が２枚、2⃣ が２枚 である。
このとき、４枚の一列の並べ方は、
₄Ｃ₂ × ₂Ｃ₂ ＝ ( 4・3 / 2・1 ) × ( 2・1 / 2・1 ) ＝ ( 4・3・2・1 ) / ( 2・1・2・1 ) ＝ 4 ! / ( 2 ! 2 ! )
カードが６枚あって、1⃣ が３枚、2⃣ が３枚 である。
このとき、６枚の一列の並べ方は、
₆Ｃ₃ × ₃Ｃ₃ ＝ ( 6・5・4 / 3・2・1 ) × ( 3・2・1 / 3・2・1 ) ＝ 6 ! / ( 3 ! 3 ! )
カードが３枚あって、1⃣ が１枚、2⃣ が１枚、3⃣ が１枚 である。
このとき、３枚の一列の並べ方は、
₃Ｃ₁ × ₂Ｃ₁ × ₁Ｃ₁ ＝ ( 3 / 1 ) × ( 2 / 1 ) × ( 1 / 1 ) ＝ 3 ! / ( 1 ! 1 ! 1 ! )
カードが６枚あって、1⃣ が２枚、2⃣ が２枚、3⃣ が２枚 である。
このとき、６枚の一列の並べ方は、
₆Ｃ₂ × ₄Ｃ₂ × ₂Ｃ₂ ＝ ( 6・5 / 2・1 ) × ( 4・3 / 2・1 ) × ( 2・1 / 2・1 ) ＝ 6 ! / ( 2 ! 2 ! 2 ! )
カードが９枚あって、1⃣ が３枚、2⃣ が３枚、3⃣ が３枚 である。
このとき、９枚の一列の並べ方は、
₉Ｃ₃ × ₆Ｃ₃ × ₃Ｃ₃ ＝ ( 9・8・7 / 3・2・1 ) × ( 6・5・4 / 3・2・1 ) × ( 3・2・1 / 3・2・1 )
＝ 9 ! / ( 3 ! 3 ! 3 ! )
【 特殊から一般化 】
カードが ｎ 枚あって、そのうちわけは、1⃣ が ｐ 枚、2⃣ が ｑ 枚 である。
このとき、 ｎ 枚の一列の並べ方は、
ｎＣｐ × ｎ－ｐＣｑ ＝ { ｎ！ / ｐ！( ｎ－ｐ )！} × { ( ｎ－ｐ )！ / ｑ！( ｎ－ｐ－ｑ )！}
＝ ｎ！ / ( ｐ！ｑ！) [ ∵ ｎ－ｐ－ｑ ＝ 0 であり、 0 ! ＝ 1 より ]
カードが ｎ 枚あって、そのうちわけは、1⃣ が ｐ 枚、2⃣ が ｑ 枚、3⃣ が ｒ 枚 である。
このとき、 ｎ 枚の一列の並べ方は、
ｎＣｐ × ｎ－ｐＣｑ × ｎ－ｐ－ｑＣｒ
＝ { ｎ！/ ｐ！( ｎ－ｐ )！} × { ( ｎ－ｐ )！/ ｑ！( ｎ－ｐ－ｑ )！} × { ( ｎ－ｐ－ｑ )！/ ｒ！( ｎ－ｐ－ｑ－ｒ )！}
＝ ｎ！ / ( ｐ！ｑ！ｒ！) [ ∵ ｎ－ｐ－ｑ－ｒ ＝ 0 であり、 0 ! ＝ 1 より ]
さらに、一般化すると、
ｎ 個のもの のうち、 ｐ 個 は 同じもの、 ｑ 個 は 他の同じもの、 ｒ 個 は また別の同じもの、 ・ ・ ・ ・ ・ であるとき、
これら ｎ 個を 一列に並べる 並べ方の数は、
ｎ！ / ( ｐ！ｑ！ｒ！・ ・ ・ ・ ・ ) [ ただし、ｎ ＝ ｐ ＋ ｑ ＋ ｒ ＋ ・ ・ ・ ・ ・ であり、 0 ! ＝ 1 ]
公式 ： 階乗の積 分の 和の階乗 ( この公式は、「Ｃ」 の使用から導けた。)
○ 赤玉 ３個 ● ● ●
青玉 ３個 ● ● ●
緑玉 ３個 ● ● ●
全部で ９個の玉がある。この中から ３個取り出して、横一列に並べるとき、
次の問いに答えよ。
(１) 全部で何通りの並べ方があるか。
(２) 赤玉が少なくとも２個ある並べ方は、何通りあるか。
(３) 連続して同じ色の玉を並べないとき、
ⅰ) このような並べ方は、全部で何通りあるか。
ⅱ) 左右対称となる並べ方は、何通りあるか。
ⅲ) 赤玉が少なくとも１個ある並べ方は、何通りあるか。
次回 ⑫ 『 対称性 (同じもの) 』 に続きます。