⑩ 『 同じものがある ３ 』
○ 1⃣ , 1⃣ , 1⃣ , 2⃣ , 2⃣ , 2⃣ , 3⃣ , 3⃣ , 3⃣ の９枚のカードがある。
この中 から ５枚選んで 一列に並べて整数をつくる。
何通りの整数ができるか求めなさい。
(１つの解答) 規則性と対称性を考えて、いくつかを書き出し、計算する。
[ 1 1 1 2 2 ] [ 1 1 1 2 3 ] [ 1 1 1 3 2 ] [ 1 1 1 3 3 ]
[ 1 1 2 1 2 ] [ 1 1 2 1 3 ] [ 1 1 2 2 1 ] [ 1 1 2 2 2 ] [ 1 1 2 2 3 ] [ 1 1 2 3 1 ] [ 1 1 2 3 2 ] [ 1 1 2 3 3 ]
[ 1 1 3 1 2 ] [ 1 1 3 1 3 ] [ 1 1 3 2 1 ] [ 1 1 3 2 2 ] [ 1 1 3 2 3 ] [ 1 1 3 3 1 ] [ 1 1 3 3 2 ] [ 1 1 3 3 3 ]
[ 1 2 1 1 2 ] [ 1 2 1 1 3 ] [ 1 2 1 2 1 ] [ 1 2 1 2 2 ] [ 1 2 1 2 3 ] [ 1 2 1 3 1 ] [ 1 2 1 3 2 ] [ 1 2 1 3 3 ]
[ 1 2 2 1 1 ] [ 1 2 2 1 2 ] [ 1 2 2 1 3 ] [ 1 2 2 2 1 ] [ 1 2 2 2 3 ] [ 1 2 2 3 1 ] [ 1 2 2 3 2 ] [ 1 2 2 3 3 ]
[ 1 2 3 1 1 ] [ 1 2 3 1 2 ] [ 1 2 3 1 3 ] [ 1 2 3 2 1 ] [ 1 2 3 2 2 ] [ 1 2 3 2 3 ] [ 1 2 3 3 1 ] [ 1 2 3 3 2 ]
[ 1 2 3 3 3 ]
[ 1 3 1 1 2 ] [ 1 3 1 1 3 ] [ 1 3 1 2 1 ] [ 1 3 1 2 2 ] [ 1 3 1 2 3 ] [ 1 3 1 3 1 ] [ 1 3 1 3 2 ] [ 1 3 1 3 3 ]
[ 1 3 2 1 1 ] [ 1 3 2 1 2 ] [ 1 3 2 1 3 ] [ 1 3 2 2 1 ] [ 1 3 2 2 2 ] [ 1 3 2 2 3 ] [ 1 3 2 3 1 ] [ 1 3 2 3 2 ]
[ 1 3 2 3 3 ]
[ 1 3 3 1 1 ] [ 1 3 3 1 2 ] [ 1 3 3 1 3 ] [ 1 3 3 2 1 ] [ 1 3 3 2 2 ] [ 1 3 3 2 3 ] [ 1 3 3 3 1 ] [ 1 3 3 3 2 ]
以上 万の位の数が 1 のとき、 ７０通り。
対称性を考えて、万の位の数が 2 のときも ７０通り。
万の位の数が 3 のときも ７０通り。
よって、 ３ × ７０ より、 ２１０通り。
(もう１つの解答) 3⃣の枚数による場合分けをして求める。
ⅰ) 3⃣ が ０枚のときの選び方は、( 1 1 1 2 2 ) , ( 1 1 2 2 2 ) の２組
ⅱ) 3⃣ が １枚のときの選び方は、( 1 1 1 2 3 ) , ( 1 1 2 2 3 ) , ( 1 2 2 2 3 ) の３組
ⅲ) 3⃣ が ２枚のときの選び方は、( 1 1 1 3 3 ) , ( 1 1 2 3 3 ) , ( 1 2 2 3 3 ) , ( 2 2 2 3 3 ) の４組
ⅳ) 3⃣ が ３枚のときの選び方は、( 1 1 3 3 3 ) , ( 1 2 3 3 3 ) , ( 2 2 3 3 3 ) ３組 だから、
( 1 1 1 2 2 ) , ( 1 1 1 3 3 ) , ( 1 1 2 2 2 ) , ( 1 1 3 3 3 ) , ( 2 2 2 3 3 ) , ( 2 2 3 3 3 ) の６組の並べ方は、
₅Ｃ₃ × ₂Ｃ₂ × ６ より、 ６０通り。
( 1 1 1 2 3 ) , ( 1 2 2 2 3 ) , ( 1 2 3 3 3 ) の３組の並べ方は、
₅Ｃ₃ × ２！× ３ より、 ６０通り。
( 1 1 2 2 3 ) , ( 1 1 2 3 3 ) , ( 1 2 2 3 3 ) の３組の並べ方は、
₅Ｃ₂ × ₃Ｃ₂ × ₁Ｃ₁ × ３ より、 ９０通り。
よって、 ６０ ＋ ６０ ＋ ９０ より、 ２１０通り。
(さらに もう１つの解答) 各位に、1 , 2 , 3 の３枚のカードが使える と仮定して 求める。
万の位の数、千の位の数、百の位の数、十の位の数、一の位の数
それぞれに 1 , 2 , 3 の３通り カードが使える と仮定すると、
３⁵ より、 ２４３通り。
1 と 2 と 3 は、３つずつしか使えないから、
[ 1 1 1 1 1 ] , [ 2 2 2 2 2 ] , [ 3 3 3 3 3 ] の３通りは 除外。
( 1 1 1 1 2 ) , ( 1 1 1 1 3 ) , ( 2 2 2 2 1 ) , ( 2 2 2 2 3 ) , ( 3 3 3 3 1 ) , ( 3 3 3 3 2 )
の６組 の 並べ方
₅Ｃ₄ × ₁Ｃ₁ × ６ ＝ ３０ 通りも 除外。
よって、 ２４３ － ３ － ３０ より、 ２１０通り。
○ 1⃣ , 1⃣ , 1⃣ , 2⃣ , 2⃣ , 2⃣ , 3⃣ , 3⃣ , 3⃣ の９枚のカードがある。
この中 から ６枚選んで 一列に並べて整数をつくる。
何通りの整数ができるか求めなさい。
(１つの解答) 各位に、1 , 2 , 3 の３枚のカードが使える と仮定して 求める。
十万の位の数、万の位の数、千の位の数、百の位の数、十の位の数、一の位の数
それぞれに 1 , 2 , 3 の３通り カードが使える と仮定すると、
３⁶ より、 ７２９通り。
1 と 2 と 3 は、３つずつしか使えないから、
[ 1 1 1 1 1 1 ] , [ 2 2 2 2 2 2 ] , [ 3 3 3 3 3 3 ] の３通りは 除外。
( 1 1 1 1 1 2 ) , ( 1 1 1 1 1 3 ) , ( 2 2 2 2 2 1 ) , ( 2 2 2 2 2 3 ) , ( 3 3 3 3 3 1 ) , ( 3 3 3 3 3 2 )
の６組 の 並べ方
₆Ｃ₅ × ₁Ｃ₁ × ６ ＝ ３６ 通りも 除外。
( 1 1 1 1 2 2 ) , ( 1 1 1 1 2 3 ) , ( 1 1 1 1 3 3 ) ,
( 2 2 2 2 1 1 ) , ( 2 2 2 2 1 3 ) , ( 2 2 2 2 3 3 ) ,
( 3 3 3 3 1 1 ) , ( 3 3 3 3 1 2 ) , ( 3 3 3 3 2 2 ) の９組 の 並べ方
₆Ｃ₂ × ₄Ｃ₄ × ６ ＋ ₆Ｃ₄ × ２！× ３ ＝ １８０通りも 除外。
よって、 ７２９ － ３ － ３６ － １８０ より、 ５１０通り。
(もう１つの解答) 3⃣の枚数による場合分けをして求める。
ⅰ) 3⃣ が ０枚のときの選び方は、( 1 1 1 2 2 2 )
ⅱ) 3⃣ が １枚のときの選び方は、( 1 1 1 2 2 3 ) , ( 1 1 2 2 2 3 )
ⅲ) 3⃣ が ２枚のときの選び方は、( 1 1 1 2 3 3 ) , ( 1 1 2 2 3 3 ) , ( 1 2 2 2 3 3 )
ⅳ) 3⃣ が ３枚のときの選び方は、( 1 1 1 3 3 3 ) , ( 1 1 2 3 3 3 ) , ( 1 2 2 3 3 3 ) , ( 2 2 2 3 3 3 )
だから、
( 1 1 1 2 2 2 ) , ( 1 1 1 3 3 3 ) , ( 2 2 2 3 3 3 ) の３組の並べ方は、
₆Ｃ₃ × ₃Ｃ₃ × ３ より、 ６０通り。
( 1 1 1 2 2 3 ) , ( 1 1 2 2 2 3 ) , ( 1 1 1 2 3 3 ) , ( 1 2 2 2 3 3 ) , ( 1 1 2 3 3 3 ) , ( 1 2 2 3 3 3 )
の６組の並べ方は、
₆Ｃ₂ × ₄Ｃ₃ × ₁Ｃ₁ × ６ より、 ３６０通り。
( 1 1 2 2 3 3 ) の並べ方は、
₆Ｃ₂ × ₄Ｃ₂ × ₂Ｃ₂ より、 ９０通り。
よって、 ６０ ＋ ３６０ ＋ ９０ より、 ５１０通り。
○ 1⃣ , 1⃣ , 1⃣ , 2⃣ , 2⃣ , 2⃣ , 3⃣ , 3⃣ , 3⃣ の９枚のカードがある。
この中 から ７枚選んで 一列に並べて整数をつくる。
何通りの整数ができるか求めなさい。
○ 1⃣ , 1⃣ , 1⃣ , 2⃣ , 2⃣ , 2⃣ , 3⃣ , 3⃣ , 3⃣ の９枚のカードがある。
この中 から ８枚選んで 一列に並べて整数をつくる。
何通りの整数ができるか求めなさい。
○ 1⃣ , 1⃣ , 1⃣ , 2⃣ , 2⃣ , 2⃣ , 3⃣ , 3⃣ , 3⃣ の９枚のカードがある。
この中 から ９枚選んで 一列に並べて整数をつくる。
何通りの整数ができるか求めなさい。
次回 ⑪ 『 同じものがある ４ 』 に続きます。