⑨ 『 同じものがある ２ 』
○ 1⃣ , 1⃣ , 1⃣ , 2⃣ , 2⃣ , 2⃣ , 3⃣ , 3⃣ , 3⃣ の９枚のカードがある。
この中 から ３枚選んで 一列に並べて整数をつくる。
何通りの整数ができるか求めなさい。
(１つの解答) すべて書き出してみる。( 規則性をもって )
[ 1 1 1 ] , [ 1 1 2 ] , [ 1 1 3 ]
[ 1 2 1 ] , [ 1 2 2 ] , [ 1 2 3 ]
[ 1 3 1 ] , [ 1 3 2 ] , [ 1 3 3 ]
[ 2 1 1 ] , [ 2 1 2 ] , [ 2 1 3 ]
[ 2 2 1 ] , [ 2 2 2 ] , [ 2 2 3 ]
[ 2 3 1 ] , [ 2 3 2 ] , [ 2 3 3 ]
[ 3 1 1 ] , [ 3 1 2 ] , [ 3 1 3 ]
[ 3 2 1 ] , [ 3 2 2 ] , [ 3 2 3 ]
[ 3 3 1 ] , [ 3 3 2 ] , [ 3 3 3 ] 以上より、 ２７通り。
(もう１つの解答) 計算で出してみる。( 各位に使えるカードに注目して )
百の位に、1 , 2 , 3 の３通りのカードが使えて、
その各々の場合について、十の位にも、1 , 2 , 3 の３通りのカードが使えて、
その各々の場合について、一の位にも、1 , 2 , 3 の３通りのカードが使えるから、
３ × ３ × ３ ＝ ３³ より、 ２７通り。
(さらに もう１つの解答) カード 3⃣ の枚数について場合分けし、計算で求めてみる。
ⅰ) 3⃣ が ０枚の場合
３枚のカードの選び方は、( 1 1 1 ) , ( 1 1 2 ) , ( 1 2 2 ) , ( 2 2 2 ) の ４組
ⅱ) 3⃣ が １枚の場合
３枚のカードの選び方は、( 1 1 3 ) , ( 1 2 3 ) , ( 2 2 3 ) の ３組
ⅲ) 3⃣ が ２枚の場合
３枚のカードの選び方は、( 1 3 3 ) , ( 2 3 3 ) の ２組
ⅳ) 3⃣ が ３枚の場合
３枚のカードの選び方は、( 3 3 3 ) の １組
以上より、 ( 1 1 1 ) , ( 2 2 2 ) , ( 3 3 3 ) の３組の並べ方は、 １×３ より、 ３通り。
( 1 1 2 ) , ( 1 2 2 ) , ( 1 1 3 ) , ( 2 2 3 ) , ( 1 3 3 ) , ( 2 3 3 ) の６組の並べ方は、
₃Ｃ₂ × ₁Ｃ₁ × ６ より、 １８通り。
( 1 2 3 ) の１組の並べ方は、
₃Ｐ₃ ＝ ３！ より、 ６通り。
よって、 ３ ＋ １８ ＋ ６ より、 ２７通り。
○ 1⃣ , 1⃣ , 1⃣ , 2⃣ , 2⃣ , 2⃣ , 3⃣ , 3⃣ , 3⃣ の９枚のカードがある。
この中 から ４枚選んで 一列に並べて整数をつくる。
何通りの整数ができるか求めなさい。
(１つの解答) いくつか書き出して ( 規則性をもって )、 計算で出してみる。
千の位の数が 1 であるもの をすべて書き出してみると
[ 1 1 1 2 ] [ 1 1 1 3 ] [ 1 1 2 1 ] [ 1 1 2 2 ] [ 1 1 2 3 ] [ 1 1 3 1 ] [ 1 1 3 2 ] [ 1 1 3 3 ]
[ 1 2 1 1 ] [ 1 2 1 2 ] [ 1 2 1 3 ] [ 1 2 2 1 ] [ 1 2 2 2 ] [ 1 2 2 3 ] [ 1 2 3 1 ] [ 1 2 3 2 ] [ 1 2 3 3 ]
[ 1 3 1 1 ] [ 1 3 1 2 ] [ 1 3 1 3 ] [ 1 3 2 1 ] [ 1 3 2 2 ] [ 1 3 2 3 ] [ 1 3 3 1 ] [ 1 3 3 2 ] [ 1 3 3 3 ]
の ２６通り。
1 と 2 と 3 は、３つずつあるから、対称性を考えると、
千の位の数が 2 であるものも ２６通り。
千の位の数が 3 であるものも ２６通り。
よって、 ３ × ２６ より、 ７８通り。
(もう１つの解答) すべて書き出してみる。
[ 1 1 1 2 ] [ 1 1 1 3 ] [ 1 1 2 1 ] [ 1 1 2 2 ] [ 1 1 2 3 ] [ 1 1 3 1 ] [ 1 1 3 2 ] [ 1 1 3 3 ]
[ 1 2 1 1 ] [ 1 2 1 2 ] [ 1 2 1 3 ] [ 1 2 2 1 ] [ 1 2 2 2 ] [ 1 2 2 3 ] [ 1 2 3 1 ] [ 1 2 3 2 ] [ 1 2 3 3 ]
[ 1 3 1 1 ] [ 1 3 1 2 ] [ 1 3 1 3 ] [ 1 3 2 1 ] [ 1 3 2 2 ] [ 1 3 2 3 ] [ 1 3 3 1 ] [ 1 3 3 2 ] [ 1 3 3 3 ]
[ 2 1 1 1 ] [ 2 1 1 2 ] [ 2 1 1 3 ] [ 2 1 2 1 ] [ 2 1 2 2 ] [ 2 1 2 3 ] [ 2 1 3 1 ] [ 2 1 3 2 ] [ 2 1 3 3 ]
[ 2 2 1 1 ] [ 2 2 1 2 ] [ 2 2 1 3 ] [ 2 2 2 1 ] [ 2 2 2 3 ] [ 2 2 3 1 ] [ 2 2 3 2 ] [ 2 2 3 3 ]
[ 2 3 1 1 ] [ 2 3 1 2 ] [ 2 3 1 3 ] [ 2 3 2 1 ] [ 2 3 2 2 ] [ 2 3 2 3 ] [ 2 3 3 1 ] [ 2 3 3 2 ] [ 2 3 3 3 ]
[ 3 1 1 1 ] [ 3 1 1 2 ] [ 3 1 1 3 ] [ 3 1 2 1 ] [ 3 1 2 2 ] [ 3 1 2 3 ] [ 3 1 3 1 ] [ 3 1 3 2 ] [ 3 1 3 3 ]
[ 3 2 1 1 ] [ 3 2 1 2 ] [ 3 2 1 3 ] [ 3 2 2 1 ] [ 3 2 2 2 ] [ 3 2 2 3 ] [ 3 2 3 1 ] [ 3 2 3 2 ] [ 3 2 3 3 ]
[ 3 3 1 1 ] [ 3 3 1 2 ] [ 3 3 1 3 ] [ 3 3 2 1 ] [ 3 3 2 2 ] [ 3 3 2 3 ] [ 3 3 3 1 ] [ 3 3 3 2 ]
以上より、 ７８通り。
(さらに もう１つの解答) カード 3⃣ の枚数について場合分けし、計算で求めてみる。
ⅰ) 3⃣ が ０枚の場合
４枚のカードの選び方は、( 1 1 1 2 ) , ( 1 1 2 2 ) , ( 1 2 2 2 ) の ３組
ⅱ) 3⃣ が １枚の場合
４枚のカードの選び方は、( 1 1 1 3 ) , ( 1 1 2 3 ) , ( 1 2 2 3 ) , ( 2 2 2 3 ) の ４組
ⅲ) 3⃣ が ２枚の場合
４枚のカードの選び方は、( 1 1 3 3 ) , ( 1 2 3 3 ) , ( 2 2 3 3 ) の ３組
ⅳ) 3⃣ が ３枚の場合
４枚のカードの選び方は、( 1 3 3 3 ) , ( 2 3 3 3 ) の ２組
以上より、 ( 1 1 1 2 ) , ( 1 1 1 3 ) , ( 1 2 2 2 ) , ( 1 3 3 3 )
( 2 2 2 3 ) , ( 2 3 3 3 ) の６組の並べ方は、
₄Ｃ₃ × ₁Ｃ₁ × ６ より、 ２４通り。
( 1 1 2 2 ) , ( 1 1 3 3 ) , ( 2 2 3 3 ) の３組の並べ方は、
₄Ｃ₂ × ₂Ｃ₂ × ３ より、 １８通り。
( 1 1 2 3 ) , ( 1 2 2 3 ) , ( 1 2 3 3 ) の３組の並べ方は、
₄Ｃ₂ × ₂Ｐ₂ × ３ より、 ３６通り。
よって、 ２４ ＋ １８ ＋ ３６ より、 ７８通り。
(さらにさらに もう１つの解答) 計算で出してみる。( すべての位に1⃣ , 2⃣ , 3⃣ の３枚のカードが使える と仮定して )
千の位に、1 , 2 , 3 の３通りのカードが使えて、
その各々の場合について、百の位にも、1 , 2 , 3 の３通りのカードが使えて、
その各々の場合について、十の位にも、1 , 2 , 3 の３通りのカードが使えて、
その各々の場合について、一の位にも、1 , 2 , 3 の３通りのカードが使えると 仮定すると、
３ × ３ × ３ × ３ ＝ ３⁴ より、 ８１通り。
[ 1 1 1 1 ] , [ 2 2 2 2 ] , [ 3 3 3 3 ] は、つくることができないから、この３通りを除外する。
よって、 ８１ － ３ より、 ７８通り。
○ 1⃣ , 1⃣ , 1⃣ , 2⃣ , 2⃣ , 2⃣ , 3⃣ , 3⃣ , 3⃣ の９枚のカードがある。
この中 から ５枚選んで 一列に並べて整数をつくる。
何通りの整数ができるか求めなさい。
○ 1⃣ , 1⃣ , 1⃣ , 2⃣ , 2⃣ , 2⃣ , 3⃣ , 3⃣ , 3⃣ の９枚のカードがある。
この中 から ６枚選んで 一列に並べて整数をつくる。
何通りの整数ができるか求めなさい。
次回 ⑩ 『 同じものがある ３ 』 に続きます。