⑧ 『 同じものがある 』
○ １⃣ , ２⃣ , 3⃣ , 3⃣ , 3⃣ の５枚のカードから少なくとも３枚選んで一列に並べるとき、
何通りの整数ができるか。
次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
(Ⅰ) ３枚選んで並べる場合
ⅰ) 3⃣ が ０枚のとき、
1⃣ と 2⃣ の２枚のカードしか使えないから、３枚選んで並べることができない。
よって、 [ ０ ]通り。
ⅱ) 3⃣ が １枚のとき、具体的に書き出すと 選び方は ( 1 , 2 , 3 ) の１組 だから、
[ ３！] より、 [ ６ ]通り。
ⅲ) 3⃣ が ２枚のとき、具体的に書き出すと ( 1 , 3 , 3 ) , ( 2 , 3 , 3 ) の２組
( 1 , 3 , 3 ) , ( 2 , 3 , 3 ) の２組の並べ方は、
３つの場所 から ２つの場所を選んで、２つある 3 をそこに入れ、
残りの１つの場所に 1 か 2 を入れればよいから、
₃Ｃ₂ × ₁Ｃ₁ × ２ 通り。 すなわち [ ６ ]通り。
ⅳ) 3⃣ が ３枚のとき、具体的に書き出すと ( 3 , 3 , 3 ) の１組 だから、[ １ ]通り。
ⅰ, ⅱ, ⅲ, ⅳ より、 １３通り。
(Ⅱ) ４枚選んで並べる場合
ⅰ) 3⃣ が ２枚のとき、選び方は ( 1 , 2 , 3 , 3 ) の１組のみ
[ ４ ]つの場所 から [ ２ ]つの場所を選んで 3 を入れ、
残りの２つの場所に 1 と 2 を入れるから、
( 1 , 2 , 3 , 3 ) の並べ方は、
[ ₄Ｃ₂ × ２！] より、 １２通り。
ⅱ) 3⃣ が ３枚のとき、( 1 , 3 , 3 , 3 ) , ( 2 , 3 , 3 , 3 ) の２組
[ ４ ]つの場所 から [ ３ ]つの場所を選んで 3 を入れ、
残りの１つの場所に 1 か 2 を入れるから、
( 1 , 3 , 3 , 3 ) , ( 2 , 3 , 3 , 3 ) の並べ方は、
[ ₄Ｃ₃ × ₁Ｃ₁ × ２ ] より、 ８通り。
ⅰ, ⅱ より、 ２０通り。
(Ⅲ) ５枚選んで並べる場合
選び方は ( 1 , 2 , 3 , 3 , 3 ) の１組のみ
[ ５ ]つの場所 から [ ３ ]つの場所を選んで 3 を入れ、
残りの２つの場所に 1 と 2 を入れるから、
( 1 , 2 , 3 , 3 , 3 ) の並べ方は、
[ ₅Ｃ₃ × ２！ ] より、 ２０通り。
○ １⃣ , ２⃣ , 2⃣ , 3⃣ , 3⃣ , 3⃣ の６枚のカードから少なくとも３枚選んで一列に並べるとき、
何通りの整数ができるか求めてください。
(Ⅰ) ３枚選んで並べる場合
ⅰ) 3⃣ が ０枚のときの選び方は、( 1 , 2 , 2 ) の１組のみ
３つの場所から２つの場所を選んで 2 を入れ、
残りの１つの場所に 1 を入れるから、
( 1 , 2 , 2 ) の並べ方は、
₃Ｃ₂ × ₁Ｃ₁ より、 ３通り。
ⅱ) 3⃣ が １枚のときの選び方は、( 1 , 2 , 3 ) , ( 2 , 2 , 3 ) の２組
( 1 , 2 , 3 ) の並べ方は、 ３！ より、 ６通り。
( 2 , 2 , 3 ) の並べ方は、 ₃Ｃ₂ × ₁Ｃ₁ より、 ３通り。
ⅲ) 3⃣ が ２枚のときの選び方は、( 1 , 3 , 3 ) , ( 2 , 3 , 3 ) の２組
( 1 , 3 , 3 ) , ( 2 , 3 , 3 ) の２組 の並べ方は、
₃Ｃ₂ × ₁Ｃ₁ × ２ より、 ６通り。
ⅳ) 3⃣ が ３枚のときの選び方は、( 3 , 3 , 3 ) の１組で、その並べ方は、 １通り。
ⅰ, ⅱ, ⅲ, ⅳ より、 １９通り。
(Ⅱ) ４枚選んで並べる場合
ⅰ) 3⃣ が １枚のときの選び方は、( 1 , 2 , 2 , 3 ) の１組、
ⅱ) 3⃣ が ２枚のときの並べ方は、( 1 , 2 , 3 , 3 ) , ( 2 , 2 , 3 , 3 ) の２組、
ⅲ) 3⃣ が ３枚のときの並べ方は、( 1 , 3 , 3 , 3 ) , ( 2 , 3 , 3 , 3 ) の２組 だから、
( 1 , 2 , 2 , 3 ) , ( 1 , 2 , 3 , 3 ) の２組の並べ方は、
₄Ｃ₂ × ２！ × ２ より、 ２４通り。
( 2 , 2 , 3 , 3 ) の並べ方は、
₄Ｃ₂ × ₂Ｃ₂ より、 ６通り。
( 1 , 3 , 3 , 3 ) , ( 2 , 3 , 3 , 3 ) の２組の並べ方は、
₄Ｃ₃ × ₁Ｃ₁ × ２ より、 ８通り。
以上より、 ３８通り。
(Ⅲ) ５枚選んで並べる場合
ⅰ) 3⃣ が ２枚のときの並べ方は、( 1 , 2 , 2 , 3 , 3 ) のみで、
その並べ方は、 ₅Ｃ₂ × ₃Ｃ₂ × ₁Ｃ₁ より、 ３０通り。
ⅱ) 3⃣ が ３枚のときの並べ方は、( 1 , 2 , 3 , 3 , 3 ) , ( 2 , 2 , 3 , 3 , 3 ) の２組
( 1 , 2 , 3 , 3 , 3 ) の並べ方は、 ₅Ｃ₃ × ２！ より、 ２０通り。
( 2 , 2 , 3 , 3 , 3 ) の並べ方は、 ₅Ｃ₃ × ₂Ｃ₂ より、 １０通り。
ⅰ, ⅱ より、 ６０通り。
(Ⅳ) ６枚選んで並べる場合
( 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 ) １組のみで、その並べ方は、
₆Ｃ₃ × ₃Ｃ₂ × ₁Ｃ₁ より、 ６０通り。
○ 1⃣ , 1⃣ , 1⃣ , 2⃣ , 2⃣ , 2⃣ , 3⃣ , 3⃣ , 3⃣ の９枚のカードがある。
この中 から ３枚選んで 一列に並べて整数をつくる。
何通りの整数ができるか求めなさい。
○ 1⃣ , 1⃣ , 1⃣ , 2⃣ , 2⃣ , 2⃣ , 3⃣ , 3⃣ , 3⃣ の９枚のカードがある。
この中 から ４枚選んで 一列に並べて整数をつくる。
何通りの整数ができるか求めなさい。
次回 ⑨ 『 同じものがある ２ 』 に続きます。