⑦ 『 「Ｃ」の使い方が重要 』
○ 1⃣ , 2⃣ , 3⃣ , 3⃣ の４枚のカードから少なくとも２枚選んで一列に並べるとき、何通りの整数ができますか。
次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
ⅰ) ２枚選んで並べる場合
先ず、２枚の選び方は、具体的に書き出すと、( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 3 ) の４組ある。
( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) の３組のそれぞれの並べ方は、２！＝ ２ × １ ＝ ２ だから、
( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) の並べ方は、全部で [ ３ × ２ ] より、 [ ６ ]通りである。
( 3 , 3 ) の１組の並べ方は、[ １ ]通りである。
以上より、 ７通り。
ⅱ) ３枚選んで並べる場合
先ず、３枚の選び方は、具体的に書き出すと、( 1 , 2 , 3 ) , ( 1 , 3 , 3 ) , ( 2 , 3 , 3 ) の３組ある。
( 1 , 2 , 3 ) の１組の並べ方は、[ ３！＝ ３ × ２ × １ ] より、[ ６ ]通り。
( 1 , 3 , 3 ) , ( 2 , 3 , 3 ) の２組の並べ方は、
３つの場所 から ２つの場所を選んで、２つある 3 をそこに入れ、
残りの１つの場所に 1 か 2 を入れればよいから、
₃Ｃ₂ × ₁Ｃ₁ × ２ 通り。 すなわち [ ６ ]通り。
以上より、 [ １２ ]通り。
ⅲ) ４枚選んで並べる場合
先ず、４枚の選び方は、具体的に書き出すと、( 1 , 2 , 3 , 3 ) の１組ある。
[ ４ ]つの場所 から [ ２ ]つの場所を選んで 3 を入れ、
残りの２つの場所に 1 と 2 を入れるから、
( 1 , 2 , 3 , 3 ) の並べ方は、
[ ₄Ｃ₂ × ２！] より、１２通り。
以上より、 １２通り。
同じ数(もの) を入れる場所を選ぶのに、「Ｃ」を使う。
○ １⃣ , ２⃣ , 3⃣ , 3⃣ , 3⃣ の５枚のカードから少なくとも３枚選んで一列に並べるとき、
何通りの整数ができるか。
次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
(Ⅰ) ３枚選んで並べる場合
ⅰ) 3⃣ が ０枚のとき、
1⃣ と 2⃣ の２枚のカードしか使えないから、３枚選んで並べることができない。
よって、 [ ]通り。
ⅱ) 3⃣ が １枚のとき、具体的に書き出すと 選び方は ( 1 , 2 , 3 ) の１組 だから、
[ ] より、 [ ]通り。
ⅲ) 3⃣ が ２枚のとき、具体的に書き出すと ( 1 , 3 , 3 ) , ( 2 , 3 , 3 ) の２組
( 1 , 3 , 3 ) , ( 2 , 3 , 3 ) の２組の並べ方は、
３つの場所 から ２つの場所を選んで、２つある 3 をそこに入れ、
残りの１つの場所に 1 か 2 を入れればよいから、
₃Ｃ₂ × ₁Ｃ₁ × ２ 通り。 すなわち [ ]通り。
ⅳ) 3⃣ が ３枚のとき、具体的に書き出すと ( 3 , 3 , 3 ) の１組 だから、[ ]通り。
ⅰ, ⅱ, ⅲ, ⅳ より、 １３通り。
(Ⅱ) ４枚選んで並べる場合
ⅰ) 3⃣ が ２枚のとき、選び方は ( 1 , 2 , 3 , 3 ) の１組のみ
[ ]つの場所 から [ ]つの場所を選んで 3 を入れ、
残りの２つの場所に 1 と 2 を入れるから、
( 1 , 2 , 3 , 3 ) の並べ方は、
[ ] より、 １２通り。
ⅱ) 3⃣ が ３枚のとき、( 1 , 3 , 3 , 3 ) , ( 2 , 3 , 3 , 3 ) の２組
[ ]つの場所 から [ ]つの場所を選んで 3 を入れ、
残りの１つの場所に 1 か 2 を入れるから、
( 1 , 3 , 3 , 3 ) , ( 2 , 3 , 3 , 3 ) の並べ方は、
[ ] より、 ８通り。
ⅰ, ⅱ より、 ２０通り。
(Ⅲ) ５枚選んで並べる場合
選び方は ( 1 , 2 , 3 , 3 , 3 ) の１組のみ
[ ]つの場所 から [ ]つの場所を選んで 3 を入れ、
残りの２つの場所に 1 と 2 を入れるから、
( 1 , 2 , 3 , 3 , 3 ) の並べ方は、
[ ] より、 ２０通り。
○ １⃣ , ２⃣ , 2⃣ , 3⃣ , 3⃣ , 3⃣ の６枚のカードから少なくとも３枚選んで一列に並べるとき、
何通りの整数ができるか求めてください。
次回 ⑧ 『 同じものがある 』 に続きます。