⑥ 『 「 P 」 と 「 C 」 の 一般化 』
○ 1⃣ , 2⃣ , 3⃣ , 4⃣ から 少なくとも２つ選ぶ 選び方は、何通り。
次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
ⅰ) ２つ選ぶ場合
₄C₂ ＝ ₄P₂ / ₂P₂
＝ ₄P₂ / ２！
＝ ( [ ４ × ３ ] ) / ( [ ２ × １ ] )
＝ [ ６ ]
ⅱ) ３つ選ぶ場合
₄C₃ ＝ [ ₄P₃ ] / [ ₃P₃ ]
＝ [ ₄P₃ ] / [ ３！]
＝ ( ４ × ３ × ２ ) / ( ３ × ２ × １ )
＝ ４
ⅲ) ４つ選ぶ場合
₄C₄ ＝ ₄P₄ / ₄P₄
＝ ₄P₄ / ４！
＝ ( ４ × ３ × ２ × １ ) / ( ４ × ３ × ２ × １ )
＝ １
○ 赤 橙 黄 緑 青 藍 紫 の七色の玉がそれぞれ１個ずつある。
この７個 から ３個選ぶ場合 と ４個選ぶ場合、それぞれ何通りの選び方があるか。
次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
ⅰ) ３個選ぶ場合
₇C₃ ＝ ₇P₃ / [₃P₃]
＝ ₇P₃ / [３！]
＝ ( ７ × ６ × ５ ) / ( [ ３ × ２ × １ ] )
＝ ３５
よって、 ３５通り。
ⅱ) ４個選ぶ場合
₇C₄ ＝ ₇P₄ / [₄P₄]
＝ ₇P₄ / [４！]
＝ ( ７ × ６ × ５ × ４ ) / ( [ ４ × ３ × ２ × １ ] )
＝ ３５
よって、 ３５通り。
【 特殊 (具体) から 一般化 (抽象化) 】
異なる ｎ 個 から ｒ 個 選んでの並べ方は、ｎPｒ 通り。
₃P₁ ＝ ３
₃P₂ ＝ ３ × ２
₃P₃ ＝ ３ × ２ × １
₄P₁ ＝ ４
₄P₂ ＝ ４ × ３
₄P₃ ＝ ４ × ３ × ２
₄P₄ ＝ ４ × ３ × ２ × １
₅P₁ ＝ ５
₅P₂ ＝ ５ × ４
₅P₃ ＝ ５ × ４ × ３
₅P₄ ＝ ５ × ４ × ３ × ２
₅P₅ ＝ ５ × ４ × ３ × ２ × １
・
・
・
ｎPｒ ＝ ｎ × ( ｎ－１ ) × ( ｎ－２ ) × ・ ・ ・ × ( ｎ－ ｒ ＋１ ) と 一般化 できる。
異なる ｎ 個 から ｒ 個 選ぶ 選び方は、ｎCｒ 通り。
( 異なる ｎ 個 から ｒ 個 選んで並べる )
＝ ( 異なる ｎ 個 から ｒ 個 選ぶ。そして、選んだ ｒ 個 を並べる ) を使うと、
ｎPｒ ＝ ｎCｒ × ｒPｒ
＝ ｎCｒ × ｒ！
∴ ｎCｒ ＝ ｎPｒ / ｒ！
ｎCｒ ＝ ｛ ｎ × ( ｎ－１ ) × ・ ・ ・ × ( ｎ－ ｒ ＋１ ) ｝ / ｛ ｒ！｝ と 一般化 できる。
分母分子に ( ｎ－ ｒ )！ をかけると、
ｎCｒ ＝ ｛ ｎ × ( ｎ－１ ) × ・ ・ ・ × ( ｎ－ ｒ ＋１ ) ( ｎ－ ｒ )！｝ / ｛ ｒ！ ( ｎ－ ｒ )！｝
＝ { ｎ！ } / { ｒ！( ｎ－ｒ )！ } ・ ・ ・ ① とも 一般化 できる。
ｒ に ｎ － ｒ を代入すると、
ｎCｎ－ｒ ＝ [ ｎ！ ] / [ ( ｎ－ｒ )！ { ｎ－ ( ｎ－ｒ ) }！ ]
＝ { ｎ！ } / { ｒ！( ｎ－ｒ )！ } ・ ・ ・ ②
①, ② より、
ｎCｒ ＝ ｎCｎ－ｒ が成り立つ。
数は等しいが、内容は異なることに注意。
Ａ, Ｂ, Ｃ, Ｄ, Ｅ の ５文字 から 少なくとも１文字 選ぶ。
その選び方は、何通りあるか 考える。
ⅰ) １文字選ぶ場合
具体的に書き出すと (Ａ) , (Ｂ) , (Ｃ) , (Ｄ) , (Ｅ) の ５通り。
計算で出すと ₅Ｃ₁ ＝ ( ５ ) / ( １ ) ＝ ５
ⅱ) ２文字選ぶ場合
具体的に書き出すと
(ＡＢ) , (ＡＣ) , (ＡＤ) , (ＡＥ) , (ＢＣ) , (ＢＤ) , (ＢＥ) , (ＣＤ) , (ＣＥ) , (ＤＥ) の １０通り。
計算で出すと
₅Ｃ₂ ＝ ( ５×４ ) / ( ２×１ ) ＝ １０
ⅲ) ３文字選ぶ場合
具体的に書き出すと
(ＡＢＣ) , (ＡＢＤ) , (ＡＢＥ) , (ＡＣＤ) , (ＡＣＥ) , (ＡＤＥ) , (ＢＣＤ) , (ＢＣＥ) , (ＢＤＥ) , (ＣＤＥ) の １０通り。
計算で出すと
₅Ｃ₃ ＝ ( ５×４×３ ) / ( ３×２×１ ) ＝ １０
ⅳ) ４文字選ぶ場合
具体的に書き出すと (ＡＢＣＤ) , (ＡＢＣＥ) , (ＡＢＤＥ) , (ＡＣＤＥ) , (ＢＣＤＥ) の ５通り。
計算で出すと
₅Ｃ₄ ＝ ( ５×４×３×２ ) / ( ４×３×２×１ ) ＝ ５
ⅴ) ５文字選ぶ場合
具体的に書き出すと (ＡＢＣＤＥ) の １通り。
計算で出すと ₅Ｃ₅ ＝ ( ５×４×３×２×１ ) / ( ５×４×３×２×１ ) ＝ １
₅Ｃ₁ ＝ ₅Ｃ₄ ＝ ５ と
₅Ｃ₂ ＝ ₅Ｃ₃ ＝ １０ は、数は等しいが、内容は異なる。
このことを使って、
異なる内容の選び方を 計算しやすい方 で求めることができる。
( ５個から２個選ぶと、残りは３個。 ２個選ぶことは、残りの３個を選ぶことでもある。)
○ 1⃣ , 2⃣ , 3⃣ , 3⃣ の４枚のカードから少なくとも２枚選んで一列に並べるとき、何通りの整数ができますか。
次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
ⅰ) ２枚選んで並べる場合
先ず、２枚の選び方は、具体的に書き出すと、( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 3 ) の４組ある。
( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) の３組のそれぞれの並べ方は、２！＝ ２ × １ ＝ ２ だから、
( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) の並べ方は、全部で [ ] より、 [ ]通りである。
( 3 , 3 ) の１組の並べ方は、[ ]通りである。
以上より、 ７通り。
ⅱ) ３枚選んで並べる場合
先ず、３枚の選び方は、具体的に書き出すと、( 1 , 2 , 3 ) , ( 1 , 3 , 3 ) , ( 2 , 3 , 3 ) の３組ある。
( 1 , 2 , 3 ) の１組の並べ方は、[ ] より、[ ]通り。
( 1 , 3 , 3 ) , ( 2 , 3 , 3 ) の２組の並べ方は、
３つの場所 から ２つの場所を選んで、２つある 3 をそこに入れ、
残りの１つの場所に 1 か 2 を入れればよいから、
₃Ｃ₂ × ₁Ｃ₁ × ２ 通り。 すなわち [ ]通り。
以上より、 [ ]通り。
ⅲ) ４枚選んで並べる場合
先ず、４枚の選び方は、具体的に書き出すと、( 1 , 2 , 3 , 3 ) の１組ある。
[ ]つの場所 から [ ]つの場所を選んで 3 を入れ、
残りの２つの場所に 1 と 2 を入れるから、
( 1 , 2 , 3 , 3 ) の並べ方は、
[ ] より、１２通り。
以上より、 １２通り。
次回 ⑦ 『 「Ｃ」の使い方が重要 』 に続きます。