⑤ 『 組合せ ( Combination ) 』 (コンビネイション)
○ 次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
(１) 数字をかいた 1⃣ , 2⃣ , 3⃣ , ４⃣ の ４枚のカード があります。
この４枚のカードから ４枚選んで (横に) 並べると 何通りの整数ができるか。
[異なる] ４枚のカードから [４]枚選んで並べるから、
₄P₄ ＝ [４] × [３] × [２] × [１]
＝ [２４]
よって、 ２４通り の整数ができる。
(２) 赤 橙 黄 緑 青 藍 紫 の七色の玉がそれぞれ１個ずつある。
この７個 から 少なくとも５個 選んで 一列に並べると 何通りの並べ方があるか。
ⅰ) ５個選んで並べる場合
[異なる] ７個から [５]個選んで並べるから、
₇P₅ ＝ [７] × [６] × [５] × [４] × [３]
＝ [２５２０]
よって、 [２５２０]通り の並べ方がある。
ⅱ) ６個選んで並べる場合
異なる [７]個から [６]個選んで並べるから、
[₇P₆] ＝ [７] × [６] × [５] × [４] × [３] × [２]
＝ [５０４０]
よって、 [５０４０]通り の並べ方がある。
ⅲ) ７個選んで並べる場合
[異なる] ７個から [７]個選んで並べるから、
₇P₇ ＝ [７] × [６] × [５] × [４] × [３] × [２] × [１]
＝ [５０４０]
よって、 [５０４０]通り の並べ方がある。
(３) 異なる２個の一列の並べ方は、 ₂P₂ ＝ ２！＝ ２ × １ ( ２の階乗 )
異なる３個の一列の並べ方は、 ３！＝ ３ × ２ × １ ( ３の階乗 )
異なる４個の一列の並べ方は、 ４！＝ [ ４ × ３ × ２ × １ ] ( ４の階乗 )
異なる５個の一列の並べ方は、 ５！＝ [ ５ × ４ × ３ × ２ × １ ] ( ５の階乗 )
異なる６個の一列の並べ方は、 ６！＝ [ ６ × ５ × ４ × ３ × ２ × １ ] ( ６の階乗 )
・
・
・
異なるｎ個の一列の並べ方は、 ｎ！＝ ｎ × (ｎ－１) × (ｎ－２) × ・・・・・ × ３ × ２ × １ ( ｎの階乗 )
よって、 n P n ＝ [ ｎ！] である。
【 組合せ 】 いくつかのものを取り出して、順序を考えないでつくる組のつくり方
特に 異なるものを選ぶだけ の選び方を 「 Combination 」 の 「 C 」 を使って、
例えば、
1⃣ , 2⃣ , 3⃣ の異なる３枚のカード から ２枚のカードの 選び方 は、₃ C ₂ 通り
赤色、白色、青色、黄色の４個の玉 から ２個の玉の 選び方 は、₄ C ₂ 通り
一列に並んだ５つの場所 から ３つの場所の 選び方 は、₅ C ₃ 通り
と表す。
( いくつかの異なるものから ある個数 選んで一列に並べる。)
＝ ( いくつかの異なるものから ある個数 選ぶ。そして 一列に並べる。)
この関係を使って、「 Ｃ 」 を導きます。
1⃣ , 2⃣ , 3⃣ から ２つ選んで一列に並べると何通りの整数ができるか。
２つ選んでの並べ方は、
₃P₂ ＝ ３ × ２ より、 ６通り。
２つの選び方は、1 と 2 , 1 と 3 , 2 と 3 の ３通り。その各々の場合の並べ方は、₂P₂ ＝ ２！＝ ２ × １
よって、
₃P₂ ＝ ₃C₂ × ₂P₂
＝ ₃C₂ × ２！
ゆえに、
₃C₂ ＝ ₃P₂ / ₂P₂ ( 「C」 は 「P」 を使って表すことができる。)
＝ ₃P₂ / ２！
＝ ( ３ × ２ ) / ( ２ × １ )
＝ ３
○ 1⃣ , 2⃣ , 3⃣ , 4⃣ から 少なくとも２つ選ぶ 選び方は、何通り。
次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
ⅰ) ２つ選ぶ場合
₄C₂ ＝ ₄P₂ / ₂P₂
＝ ₄P₂ / ２！
＝ ( [ ] ) / ( [ ] )
＝ [ ]
ⅱ) ３つ選ぶ場合
₄C₃ ＝ [ ] / [ ]
＝ [ ] / [ ]
＝ ( ４ × ３ × ２ ) / ( ３ × ２ × １ )
＝ ４
ⅲ) ４つ選ぶ場合
₄C₄ ＝ ₄P₄ / ₄P₄
＝ ₄P₄ / ４！
＝ ( ４ × ３ × ２ × １ ) / ( ４ × ３ × ２ × １ )
＝ １
○ 赤 橙 黄 緑 青 藍 紫 の七色の玉がそれぞれ１個ずつある。
この７個 から ３個選ぶ場合 と ４個選ぶ場合、それぞれ何通りの選び方があるか。
ⅰ) ３個選ぶ場合
₇C₃ ＝ ₇P₃ / [ ]
＝ ₇P₃ / [ ]
＝ ( ７ × ６ × ５ ) / ( [ ] )
＝ ３５
よって、 ３５通り。
ⅱ) ４個選ぶ場合
₇C₄ ＝ ₇P₄ / [ ]
＝ ₇P₄ / [ ]
＝ ( ７ × ６ × ５ × ４ ) / ( [ ] )
＝ ３５
よって、 ３５通り。
「 Ｐ 」 ( パーミュテイション )
と
「 ！ 」 ( 階乗 )
と
「 Ｃ 」 ( コンビネイション )
の
関係はとても重要です。
次回 ⑥ 『 「 P 」 と 「 C 」 の 一般化 』 に続きます。