④ 『 順列 ( Permutation ) 』 ( パーミュテイション )
○ 数字をかいた 1⃣ , 2⃣ , 3⃣ , ４⃣ の ４枚のカード があります。
この４枚のカードから ４枚選んで (横に) 並べると 何通りの整数ができるか。
次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
先ず、千の位の数に 使える数 ( カード ) は、[４]通り。
千の位の数を 決める と、残りの使える数 ( カード ) は [３]つ。
百の位の数に 使える数 は、[３]通り。
百の位の数を 決める と、残りの使える数 は [２]つ。
十の位の数に 使える数 は、[２]通り。
十の位の数を 決める と、残りの使える数 は [１]つ。
一の位の数に使える数 は、[１]通り になる。
以上より、 千の位が [４]通り、
その各々の場合について、百の位が [３]通り、
その各々の場合について、十の位が [２]通り、
その各々の場合について、一の位が [１]通り。
[４] × [３] × [２] × [１] より 答えは [２４]通り。
○ 数字をかいた 1⃣ , 2⃣ , 3⃣ , ４⃣ , 5⃣ の ５枚のカード があります。
この５枚のカードから ５枚選んで (横に) 並べると 何通りの整数ができるか。
次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
先ず、万の位の数に 使える数 ( カード ) は、[５]通り。
万の位の数を 決める と、残りの使える数 は [４]つ。
千の位の数に 使える数 は、[４]通り。
千の位の数を 決める と、残りの使える数 は [３]つ。
百の位の数に 使える数 は、[３]通り。
百の位の数を 決める と、残りの使える数 は [２]つ。
十の位の数に 使える数 は、[２]通り。
十の位の数を 決める と、残りの使える数 は [１]つ。
一の位の数に使える数は、[１]通り になる。
以上より、 万の位が [５]通り、
その各々の場合について、千の位が [４]通り、
その各々の場合について、百の位が [３]通り、
その各々の場合について、十の位が [２]通り、
その各々の場合について、一の位が [１]通り。
[５] × [４] × [３] × [２] × [１] より 答えは [１２０]通り。
○ 数字をかいた 1⃣ , 2⃣ , 3⃣ , ４⃣ , 5⃣ , 6⃣ の ６枚のカード があります。
この６枚のカードから 少なくとも４枚選んで (横に) 並べると 何通りの整数ができるか。
次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
ⅰ) ４枚選んで並べる場合
先ず、千の位が [６]通り、
その各々の場合について、百の位が [５]通り、
その各々の場合について、十の位が [４]通り、
その各々の場合について、一の位が [３]通り。
[６] × [５] × [４] × [３] より 答えは [３６０]通り。
ⅱ) ５枚選んで並べる場合
先ず、万の位が [６]通り、
その各々の場合について、千の位が [５]通り、
その各々の場合について、百の位が [４]通り、
その各々の場合について、十の位が [３]通り、
その各々の場合について、一の位が [２]通り。
[６] × [５] × [４] × [３] × [２] より 答えは [７２０]通り。
ⅲ) ６枚選んで並べる場合
先ず、十万の位が [６]通り、
その各々の場合について、万の位が [５]通り、
その各々の場合について、千の位が [４]通り、
その各々の場合について、百の位が [３]通り、
その各々の場合について、十の位が [２]通り、
その各々の場合について、一の位が [１]通り。
[６] × [５] × [４] × [３] × [２] × [１] より 答えは [７２０]通り。
以上より、
４枚選んで並べる場合 [３６０]通り、
５枚選んで並べる場合 [７２０]通り、
６枚選んで並べる場合 [７２０]通り である。
【 順列 】 いくつかのものを並べる 並べ方 を 順列 という。
特に異なるものを (選んで) 一列に並べるとき、「 Permutation 」 の 「P」 を使って、
例えば、
赤色、白色、青色 の３個の玉から １個選んで の並べ方は、 ₃ P ₁ 通り
赤色、白色、青色 の３個の玉から ２個選んで の並べ方は、 ₃ P ₂ 通り
赤色、白色、青色 の３個の玉から ３個選んで の並べ方は、 ₃ P ₃ 通り
と表す。
○ 次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
(１) 数字をかいた 1⃣ , 2⃣ , 3⃣ , ４⃣ の ４枚のカード があります。
この４枚のカードから ４枚選んで (横に) 並べると 何通りの整数ができるか。
[ ] ４枚のカードから [ ]枚選んで並べるから、
₄ P ₄ ＝ [ ] × [ ] × [ ] × [ ]
＝ [ ]
よって、 ２４通り の整数ができる。
(２) 赤 橙 黄 緑 青 藍 紫 の七色の玉がそれぞれ１個ずつある。
この７個 から 少なくとも５個 選んで 一列に並べると 何通りの並べ方があるか。
ⅰ) ５個選んで並べる場合
[ ] ７個から [ ]個選んで並べるから、
₇ P ₅ ＝ [ ] × [ ] × [ ] × [ ] × [ ]
＝ [ ]
よって、 [ ]通り の並べ方がある。
ⅱ) ６個選んで並べる場合
異なる [ ]個から [ ]個選んで並べるから、
[ ] ＝ [ ] × [ ] × [ ] × [ ] × [ ] × [ ]
＝ [ ]
よって、 [ ]通り の並べ方がある。
ⅲ) ７個選んで並べる場合
[ ] ７個から [ ]個選んで並べるから、
₇ P ₇ ＝ [ ] × [ ] × [ ] × [ ] × [ ] × [ ] × [ ]
＝ [ ]
よって、 [ ]通り の並べ方がある。
(３) 異なる２個の一列の並べ方は、 ₂P₂ ＝ ２！＝ ２ × １ ( ２の階乗 )
異なる３個の一列の並べ方は、 ３！＝ ３ × ２ × １ ( ３の階乗 )
異なる４個の一列の並べ方は、 ４！＝ [ ] ( ４の階乗 )
異なる５個の一列の並べ方は、 ５！＝ [ ] ( ５の階乗 )
異なる６個の一列の並べ方は、 ６！＝ [ ] ( ６の階乗 )
・
・
・
異なるｎ個の一列の並べ方は、 ｎ！＝ ｎ × (ｎ－１) × (ｎ－２) × ・・・・・ × ３ × ２ × １ ( ｎの階乗 )
よって、 n P n ＝ [ ] である。
次回 ⑤ 『 組合せ ( Combination ) 』 に続きます。