③ 『 選んで 並べる ３ 』
○ 数字をかいた 1⃣ , 2⃣ , 3⃣ , 4⃣ , 5⃣ の ５枚のカード があります。
この５枚のカードから少なくとも３枚選んで (横に) 並べると 何通りの整数ができるか求めてください。
ⅰ) ３枚選んで並べる場合
いきなり書き出してみる。 ( 規則性を意識しながら、)
123 , 124 , 125 , 132 , 134 , 135 , 142 , 143 , 145 , 152 , 153 , 154 ,
213 , 214 , 215 , 231 , 234 , 235 , 241 , 243 , 245 , 251 , 253 , 254 ,
312 , 314 , 315 , 321 , 324 , 325 , 341 , 342 , 345 , 351 , 352 , 354 ,
412 , 413 , 415 , 421 , 423 , 425 , 431 , 432 , 435 , 451 , 452 , 453 ,
512 , 513 , 514 , 521 , 523 , 524 , 531 , 532 , 534 , 541 , 542 , 543
の ６０通り の整数ができる。
ⅱ) ４枚選んで並べる場合
千の位の数が 1 であるものを書き出してみる。
1234 1324 1423 1523
1235 1325 1425 1524
1243 1342 1432 1532
1245 1345 1435 1534
1253 1352 1452 1542
1254 1354 1453 1543
千の位の数が 1 であるものは、２４通り ある。
千の位の数が 2 であるものも書き出してみる。
2134 2314 2413 2513
2135 2315 2415 2514
2143 2341 2431 2531
2145 2345 2435 2534
2153 2351 2451 2541
2154 2354 2453 2543
千の位の数が 2 であるものも、２４通り ある。
千の位の数が 3 であるものも書き出してみる。
3124 3214 3412 3512
3125 3215 3415 3514
3142 3241 3421 3521
3145 3245 3425 3524
3152 3251 3451 3541
3154 3254 3452 3542
千の位の数が 3 であるものも、２４通り ある。
( もう、書き出さずに )
千の位の数が 4 であるものも、２４通り であり、
千の位の数が 5 であるものも、２４通り である。 ( と 考えたくなる。)
５ × ２４ ＝ １２０ より、
１２０ 通り ( と答えたくなる。)
ⅲ) ５枚選んで並べる場合
万の位の数が 1 であるものを書き出してみる。
12345 13245 14235 15234
12354 13254 14253 15243
12435 13425 14325 15324
12453 13452 14352 15342
12534 13524 14523 15423
12543 13542 14532 15432
万の位の数が 1 であるものは、２４通り ある。
( もう書き出さずに、規則性を考えて )
同じようにすると、
万の位の数が 2 であるものも、２４通り、
万の位の数が 3 であるものも、２４通り、
万の位の数が 4 であるものも、２４通り、
万の位の数が 5 であるものも、２４通り である。 ( と 表現する。)
５ × ２４ ＝ １２０ より、
１２０ 通り ( と答える。)
以上より、
３枚選んで並べる場合 ６０通り、
４枚選んで並べる場合 １２０通り、
５枚選んで並べる場合 １２０通り の整数ができる。
○ 数字をかいた 1⃣ , 2⃣ , 3⃣ , 4⃣ , 4⃣ の ５枚のカード があります。
この５枚のカードから少なくとも３枚選んで (横に) 並べると 何通りの整数ができるか求めてください。
ⅰ) ３枚選んで 並べる場合
３枚の選び方は、 ( 1 , 2 , 3 ) , ( 1 , 2 , 4 ) , ( 1 , 3 , 4 ) , ( 1 , 4 , 4 ) ,
( 2 , 3 , 4 ) , ( 2 , 4 , 4 ) ,
( 3 , 4 , 4 ) の ７通り
( 1 . 2 . 3 ) の並べ方は、 123 , 132 , 213 , 231 , 312 , 321 の ６通り
( 1 , 2 , 4 ) の並べ方は、 124 , 142 , 214 , 241 , 412 , 421 の ６通り
( 1 , 3 , 4 ) の並べ方は、 134 , 143 , 314 , 341 , 413 , 431 の ６通り
( 1 , 4 , 4 ) の並べ方は、 144 , 414 , 441 の ３通り
( 2 , 3 , 4 ) の並べ方は、 234 , 243 , 324 , 342 , 423 , 432 の ６通り
( 2 . 4 . 4 ) の並べ方は、 244 , 424 , 442 の ３通り
( 3 , 4 , 4 ) の並べ方は、 344 , 434 , 443 の ３通り
３３通り ある。
ⅱ) ４枚選んで 並べる場合
４枚の選び方は、 ( 1 , 2 , 3 , 4 ) , ( 1 , 2 , 4 , 4 ) , ( 1 , 3 , 4 , 4 ) ,
( 2 , 3 , 4 , 4 ) の ４通り
( 1 , 2 , 3 , 4 ) の並べ方は、 1234 , 1243 , 1324 , 1342 , 1423 , 1432 ,
2134 , 2143 , 2314 , 2341 , 2413 , 2431 ,
3124 , 3142 , 3214 , 3241 , 3412 , 3421 ,
4123 , 4132 , 4213 , 4231 , 4312 , 4321 の ２４通り
( 1 , 2 , 4 , 4 ) の並べ方は、 1244 , 1424 , 1442 ,
2144 , 2414 , 2441 ,
4124 , 4142 , 4214 , 4241 , 4412 , 4421 の １２通り
( 1 , 3 , 4 , 4 ) の並べ方も、 １２通り ( と 考える。)
( 2 , 3 , 4 , 4 ) の並べ方も、 １２通り ( と 考える。)
６０通り ある。
ⅲ) ５枚選んで 並べる場合
５枚の選び方は、 ( 1 , 2 , 3 , 4 , 4 ) の １通り
( 1 , 2 , 3 , 4 , 4 ) の並べ方は、
万の位の数が 1 のときは、
12344 , 12434 , 12443 , 13244 , 13424 , 13442 , 14234 , 14243 , 14324 , 14342 , 14423 , 14432 の １２通り
万の位の数が 2 のときも、 １２通り ( と 考える。)
万の位の数が 3 のときも、 １２通り ( と 考える。)
万の位の数が 4 のときは、
41234 42134 43124 44123
41243 42143 43142 44132
41324 42314 43214 44213
41342 42341 43241 44231
41423 42413 43412 44312
41432 42431 43421 44321 の ２４通り
６０通り ある。
以上より、
３枚選んで並べる場合 ３３通り、
４枚選んで並べる場合 ６０通り、
５枚選んで並べる場合 ６０通り の整数ができる。
【 規則性にもとづいて具体的に書き出す から 計算式で 】
異なる３枚 から ３枚 選んで並べると、 ６通り
異なる４枚 から ４枚 選んで並べると、 ２４通り
異なる５枚 から ５枚 選んで並べると、 １２０通り であることを経験してきました。
この経験から、
異なる６枚 から ６枚 選んで並べると、 ７２０通り
異なる７枚 から ７枚 選んで並べると、 ５０４０通り
異なる８枚 から ８枚 選んで並べると、４０３２０通り と予測・推測できそうです。
さすがに、７２０ , ５０４０ , ４０３２０ 通り 書き出すことを根拠にして、
答えをだすことは、もう現実的ではありません。時間がかかり過ぎますし、書き出しミスもするでしょう。
もう一度
○ 数字をかいた 1⃣ , 2⃣ , 3⃣ の ３枚のカード があります。
この３枚のカードから ３枚選んで (横に) 並べると 何通りの整数ができるか
を考えます。
具体的に書き出すと 1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1 と ６通り
具体例を観察すると
先ず、百の位の数に 使える数 ( カード ) は、３通り。
百の位の数を 決める と、残りの使える数 ( カード ) は ２つ。
すると、十の位の数に 使える数 は、２通り。
十の位の数を 決める と、残りの使える数 は １つ。
よって、一の位の数に 使える数 は、１通り になる。
以上より、 百の位が３通り、
その各々の場合について、十の位が２通り、
その各々の場合について、一の位が１通り だから、
３ × ２ × １ より 答えは ６通り。
○ 数字をかいた 1⃣ , 2⃣ , 3⃣ , ４⃣ の ４枚のカード があります。
この４枚のカードから ４枚選んで (横に) 並べると 何通りの整数ができるか。
次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
先ず、千の位の数に 使える数 ( カード ) は、[ ]通り。
千の位の数を 決める と、残りの使える数 ( カード ) は [ ]つ。
百の位の数に 使える数 は、[ ]通り。
百の位の数を 決める と、残りの使える数 は [ ]つ。
十の位の数に 使える数 は、[ ]通り。
十の位の数を 決める と、残りの使える数 は [ ]つ。
一の位の数に使える数 は、[ ]通り になる。
以上より、 千の位が [ ]通り、
その各々の場合について、百の位が [ ]通り、
その各々の場合について、十の位が [ ]通り、
その各々の場合について、一の位が [ ]通り。
[ ] × [ ] × [ ] × [ ] より 答えは [ ]通り。
○ 数字をかいた 1⃣ , 2⃣ , 3⃣ , ４⃣ , 5⃣ の ５枚のカード があります。
この５枚のカードから ５枚選んで (横に) 並べると 何通りの整数ができるか。
次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
先ず、万の位の数に 使える数 ( カード ) は、[ ]通り。
万の位の数を 決める と、残りの使える数 は [ ]つ。
千の位の数に 使える数 は、[ ]通り。
千の位の数を 決める と、残りの使える数 は [ ]つ。
百の位の数に 使える数 は、[ ]通り。
百の位の数を 決める と、残りの使える数 は [ ]つ。
十の位の数に 使える数 は、[ ]通り。
十の位の数を 決める と、残りの使える数 は [ ]つ。
一の位の数に使える数は、[ ]通り になる。
以上より、 万の位が [ ]通り、
その各々の場合について、千の位が [ ]通り、
その各々の場合について、百の位が [ ]通り、
その各々の場合について、十の位が [ ]通り、
その各々の場合について、一の位が [ ]通り。
[ ] × [ ] × [ ] × [ ] × [ ] より 答えは [ ]通り。
○ 数字をかいた 1⃣ , 2⃣ , 3⃣ , ４⃣ , 5⃣ , 6⃣ の ６枚のカード があります。
この６枚のカードから 少なくとも４枚選んで (横に) 並べると 何通りの整数ができるか。
次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
ⅰ) ４枚選んで並べる場合
先ず、千の位が [ ]通り、
その各々の場合について、百の位が [ ]通り、
その各々の場合について、十の位が [ ]通り、
その各々の場合について、一の位が [ ]通り。
[ ] × [ ] × [ ] × [ ] より 答えは [ ]通り。
ⅱ) ５枚選んで並べる場合
先ず、万の位が [ ]通り、
その各々の場合について、千の位が [ ]通り、
その各々の場合について、百の位が [ ]通り、
その各々の場合について、十の位が [ ]通り、
その各々の場合について、一の位が [ ]通り。
[ ] × [ ] × [ ] × [ ] × [ ] より 答えは [ ]通り。
ⅲ) ６枚選んで並べる場合
先ず、十万の位が [ ]通り、
その各々の場合について、万の位が [ ]通り、
その各々の場合について、千の位が [ ]通り、
その各々の場合について、百の位が [ ]通り、
その各々の場合について、十の位が [ ]通り、
その各々の場合について、一の位が [ ]通り。
[ ] × [ ] × [ ] × [ ] × [ ] × [ ] より 答えは [ ]通り。
以上より、
４枚選んで並べる場合 [ ]通り、
５枚選んで並べる場合 [ ]通り、
６枚選んで並べる場合 [ ]通り である。
次回 ④ 『 順列 ( Permutation ) 』 に続きます。