㉞ 『 等積変形 ２ 』
【 等積変形 】
○ 次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
(1) 水平方向に直線 ℓ がある。
凸の四角形A B C D が、次のように存在する。
直線 ℓ の上方に 頂点A , D があり、
直線 ℓ 上に 頂点B , C がある。
ℓ 上に点E をとって、四角形A B C D と面積が等しい三角形A B E を作図します。
直線AC をひく。
直線AC に[平行]で点D を通る直線 をひく。
この平行線 と ℓ との交点E をとる。
点A と 点E を直線で結んで、四角形A B C D と 等積な三角形A B E のできあがり。
なぜ、上のように作図すると等積変形できるのか
点E は、直線AC に[平行]で点D を通る直線 と ℓ との[交点] であるから、
△D A C と [△E A C] は、底辺が[同じ]で高さが[等しい]等積三角形 である。
よって、
四角形A B C D ＝ △A B C ＋ △D A C
＝ △A B C ＋ [△E A C]
＝ 三角形A B E
と等積変形できるから。
(2) 水平方向に直線 ℓ がある。
凸の五角形A B C D E が、次のように存在する。
直線 ℓ の上方に 頂点A , B , E があり、
直線 ℓ 上に 頂点C , D がある。
ℓ 上に点F , G をとって、五角形A B C D E と面積が等しい三角形A F G を作図します。
直線AC をひく。
直線AC に[平行]で点B を通る直線 をひく。
この平行線 と ℓ との交点F をとる。
点A と 点F を直線で結ぶ。
つぎに、
直線AD をひく。
直線AD に[平行]で点E を通る直線 をひく。
この平行線 と ℓ との交点G をとる。
点A と 点G を直線で結んで、五角形A B C D E と 等積な三角形A F G のできあがり。
なぜ、上のように作図すると等積変形できるのか
点F は、直線AC に[平行]で点B を通る直線 と ℓ との[交点] であるから、
[△B C A] と △F C A は、底辺が同じで高さが等しい等積三角形 である。
点G は、直線AD に[平行]で点E を通る直線 と ℓ との[交点] であるから、
△E A D と [△G A D] は、底辺が同じで高さが等しい等積三角形 である。
よって、
五角形A B C D E ＝ △A C D ＋ [△B C A] ＋ △E A D
＝ △A C D ＋ △F C A ＋ [△G A D]
＝ 三角形A F G
と等積変形できるから。
【 辺上の点を 通る等分線 の作図 】
○ 次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
(1) AB ＝ 5 , BC ＝ 6 , CA ＝ 4 の △A B C がある。
辺BC上に、BP ＝ 2 となる点P をとる。
点P を通り△A B C の面積を二等分する直線をひきましょう。
点A と 点Pを直線で結ぶ。
点A を通り △A B C の面積を二等分する直線は、辺BCの[ ]を通る。この[ ]を D とする。( 中線AD )
点D を通り 直線AP に[ ]な直線をひく。
この平行線 と 辺CAの交点を Q とする。
点P と 点Q を直線で結ぶ。
△D A P と △Q A P は [ ]三角形 だから、
直線PQ が、点P を通り △A B C の面積を[ ]する直線である。
(2) AB ＝ 5 , BC ＝ 6 , CA ＝ 4 の △A B C がある。
辺BC上に、BP ＝ 3 となる点P をとる。
点P を通り△A B C の面積を三等分する直線をひきましょう。
点A と 点Pを直線で結ぶ。
辺BC の三等分点D , E をとる。( BD ＝ DE ＝ EC ＝ 2 )
直線 AD , AE により、△A B C の面積は三等分される。
点D を通り 直線APに[ ]な直線をひく。
この平行線 と 辺ABの交点を Q とする。
点P と 点Q を直線で結ぶ。
△A Q D と [ ] は 等積三角形 だから、
直線PQ が、点P を通り △A B C の面積を三等分する １つの直線である。
点E を通り 直線[ ] に平行な直線をひく。
この平行線 と 辺CAの交点を R とする。
点P と 点R を直線で結ぶ。
[ ] と △P E R は 等積三角形 だから、
直線PR が、点P を通り △A B C の面積を三等分する もう１つの直線である。
次回の ㉟ 『 合同証明の応用 』 に続きます。