㉝ 『 等積変形 』

　　　　　　㉝ 『 等積変形 』

　　【 平行線間の距離は等しい 】

　　直線 ℓ 上に、点A , B をとる。
　　直線 ℓ の同じ側に、点P , Q があり、
　　点P から ℓ への垂線の足が A
　　点Q から ℓ への垂線の足が B であるとすると、

　　　○　ℓ // PQ　ならば、PA ＝ QB　を証明しなさい。
　　　　次の [　　　　] に適切な語句や式などを入れてください。

　　　　PA ⊥ ℓ　, QB ⊥ ℓ　より、
　　　　[ 同位角 ] が等しいから、
　　　　PA // QB

　　　　ℓ // PQ　だから、
　　　　AB // PQ

　　　　よって、四角形P A B Q は、
　　　　[ ２組の対辺 ] がそれぞれ[平行] だから、[ 平行四辺形 ] である。　　　　　　　　　　( なるための条件 ： 定義 )
　　　　平行四辺形は、２組の対辺がそれぞれ[等しい] 四角形 であるから、　　　　　　　　 ( 性質 )
　　　　[ PA ＝ QB ]　である。


　　　○　PA ＝ QB　ならば、ℓ // PQ　を証明しなさい。
　　　　次の [　　　　] に適切な語句や式などを入れてください。

　　　　PA ⊥ ℓ　, QB ⊥ ℓ　より、
　　　　同位角が等しいから、
　　　　PA // QB

　　　　仮定より、
　　　　PA ＝ QB

　　　　よって、四角形P A B Q は、
　　　　[ １組の対辺が平行かつ等しい ] 四角形だから、[ 平行四辺形 ] である。　　　　　　　　　　　( なるための条件 )
　　　　平行四辺形は、２組の対辺がそれぞれ[平行な] 四角形だから、　　　　　　　　　　　　　　　　　( 定義 )
　　　　AB // PQ
　　　　すなわち
　　　　[ ℓ // PQ ]　である。

　　以上より、　ℓ // PQ　と　PA ＝ QB　は　同値　である。　　( ℓ // PQ　⇔　PA ＝ QB )


　　【 平行線と三角形の面積 】

　　底辺が同じで 高さが等しい三角形ができるには、
　　底辺に平行な直線上に 頂点が存在することが 必要です。

　　○　次の [　　　　] に適切な語句や式などを入れてください。

　　　AD // BC の台形A B C D がある。
　　　対角線AC , DB をひき、その交点を O とする。
　　このとき、
　　　△A B O ＝ △D C O　( △A B O と △D C Oが等積三角形 )　である。

　　なぜか。
　　　AD // BC　より、底辺が[同じ]で高さが[等しい] から、
　　　[ △A B C ] ＝ △D B C　である。

　　　また、
　　　　△A B C ＝ △A B O ＋ [ △O B C ]
　　　　△D B C ＝ △D C O ＋ [ △O B C ]

　　　だから、
　　　　△A B O ＝ △D C O　となる。

　　　底辺が[同じ]で 高さが[等しい]三角形　から　[共通]の三角形をひくと、
　　　形は[異なる]が面積の[等しい]等積三角形ができる。( 台形の中の等積三角形 )


　底辺が同じで高さが等しい等積三角形
　　　　　　　　　や
　台形の中の等積三角形　を使って、

　面積は等しいまま 形を変える等積変形が可能となる。


【　等積変形　】

○　次の [　　　　] に適切な語句や式などを入れてください。

(1)　水平方向に直線 ℓ がある。
　凸の四角形A B C D が、次のように存在する。
　直線 ℓ の上方に 頂点A , D があり、
　直線 ℓ 上に 頂点B , C がある。

　ℓ 上に点E をとって、四角形A B C D と面積が等しい 三角形A B E を作図します。

　　直線AC をひく。
　　直線AC に[　　　]で点D を通る直線 をひく。
　　この平行線 と ℓ との交点E をとる。

　　点A と 点E を直線で結んで、四角形A B C D と 等積な三角形A B E のできあがり。

　なぜ、上のように作図すると等積変形できるのか

　　点E は、直線AC に[　　　]で点D を通る直線　と　ℓ との[　　　] であるから、
　　△D A C と [　　　　　 ] は、底辺が[　　　]で高さが[　　　　]等積三角形　である。
　　よって、
　　　四角形A B C D ＝ △A B C ＋  △D A C
　　　　　　　　　　　　　 ＝ △A B C ＋ [　　　　　 ]
　　　　　　　　　　　　　 ＝ 三角形A B E
　　　と等積変形できるから。


(2)　水平方向に直線 ℓ がある。
　凸の五角形A B C D E が、次のように存在する。
　直線 ℓ の上方に 頂点A , B , E があり、
　直線 ℓ 上に 頂点C , D がある。

　　ℓ 上に点F , G をとって、五角形A B C D E と面積が等しい 三角形A F G を作図します。

　　　直線AC をひく。
　　　直線AC に[　　　]で点B を通る直線 をひく。
　　　この平行線 と ℓ との交点F をとる。
　　　点A と 点F を直線で結ぶ。
　　つぎに、
　　　直線AD をひく。
　　　直線AD に[　　　]で点E を通る直線 をひく。
　　　この平行線 と ℓ との交点G をとる。

　　　点A と 点G を直線で結んで、五角形A B C D E と 等積な三角形A F G のできあがり。

　　なぜ、上のように作図すると等積変形できるのか

　　　点F は、直線AC に[　　　]で点B を通る直線　と　ℓ との[　　　] であるから、
　　　[　　　　　　] と △F C A は、底辺が同じで高さが等しい等積三角形　である。

　　　点G は、直線AD に[　　　]で点E を通る直線　と　ℓ との[　　　] であるから、
　　　△E A D と [　　　　　　] は、底辺が同じで高さが等しい等積三角形　である。
　　　よって、
　　　　五角形A B C D E ＝ △A C D ＋ [　　　　　 ] ＋  △E A D
　　　　　　　　　　　　　　 　 ＝ △A C D ＋  △F C A  ＋ [　　　　　 ]
　　　　　　　　　　　　　　 　 ＝ 三角形A F G
　　　　と等積変形できるから。


次回の　㉞ 『 等積変形 ２ 』　に続きます。