○ 平行線の作図
次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
水平方向に直線 ℓ がある。
直線 ℓ の上方に、平行な直線をひく。
ℓ 上に点A をとり、
ある一定の長さをとったコンパスの針を 点[ A ] にさし、上方から右側にかけて弧をえがく。
この弧 と ℓ との[ 交点 ] を B とする。
また 点Aより右上方の 弧の線上に 点P をとる。
つぎに、点[ B ] に針をさし、同じ長さで右上方に弧をえがく。
さらに、点[ P ] に針をさし、同じ長さで右側に弧をえがき、先ほどの弧との交点をえて、その交点を Q とする。
点P と 点Q を、定規を使って 直線で結べば、この直線が ℓ に [平行]な直線である。
なぜなら、こうしてできた四角形A B Q P は、４つの辺が等しいから [ ひし形 ] であり、 ( ひし形の定義 )
[ ひし形 ] は、２組の対辺がそれぞれ等しいから、[ 平行四辺形 ]の仲間に含まれ、
[ 平行四辺形 ] は、２組の対辺がそれぞれ平行だから、 ( 平行四辺形の定義 )
AB と PQ が [ 平行 ] になるので。
１回目のコンパス使用で、AP ＝ AB となる点[ B ] を決定し、そのような点P をとる。
２回目のコンパス使用で、AB ＝ [ BQ ] となるような点Q を求めようとし、
３回目のコンパス使用で、( AP ＝ ) PQ ＝ BQ となる点[ Q ] を決定した。
よって、４点A, B, Q, P は、[ ひし形 ] の４頂点である。
○ ある点を通る平行線の作図
次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
点P が、水平方向の直線 ℓ の上方にある。
コンパスの針を点[ P ] にさし、ℓ に十分とどく長さで 右側から右下方へ弧をえがき、ℓ との[交点]を A とする。
つぎに、同じ長さで針を点[ A ] にさし、右側に弧をえがき、ℓ との[交点]を B とする。
さらに、同じ長さで針を点[ B ] にさし、左上方に弧をえがくと１回目の弧との[交点]ができ Q とする。
点P と 点Qを、定規を使って直線で結ぶと、点Pを通り 直線 ℓ に平行な直線のできあがり。
１回目のコンパス使用で、PQ ＝ [ PA ] となる点A を決定し、そのような点Q を求めようとし、
２回目のコンパス使用で、PA ＝ [ AB ] となる点B を決定し、
３回目のコンパス使用で、( PQ ＝ ) AB ＝ BQ となる点Q を決定した。
よって、４点P, A, B, Q は、ひし形の４頂点である。
【 平行線間の距離は等しい 】
直線 ℓ 上に、点A , B をとる。
直線 ℓ の同じ側に、点P , Q があり、
点P から ℓ への垂線の足が A
点Q から ℓ への垂線の足が B であるとすると、
ℓ // PQ ならば、PA ＝ QB ( ℓ // PQ ⇒ PA ＝ QB )
PA ＝ QB ならば、ℓ // PQ ( PA ＝ QB ⇒ ℓ // PQ )
が成り立つ。
つまり、 ℓ // PQ と PA ＝ QB は 同値 である。 ( ℓ // PQ ⇔ PA ＝ QB )
○ ℓ // PQ ならば、PA ＝ QB を証明しなさい。
次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
PA ⊥ ℓ , QB ⊥ ℓ より、
[ ] が等しいから、
PA // QB
ℓ // PQ だから、
AB // PQ
よって、四角形P A B Q は、[ ] がそれぞれ[ ] だから、[ ] である。
平行四辺形は、２組の対辺がそれぞれ[ ] 四角形 であるから、
[ ] である。
○ PA ＝ QB ならば、ℓ // PQ を証明しなさい。
次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
PA ⊥ ℓ , QB ⊥ ℓ より、
同位角が等しいから、
PA // QB
仮定より、
PA ＝ QB
よって、四角形P A B Q は、[ ] 四角形だから、[ ] である。
平行四辺形は、２組の対辺がそれぞれ[ ] 四角形だから、
AB // PQ
すなわち
[ ] である。
【 平行線と三角形の面積 】
水平方向の直線 ℓ 上に、左側から点A , B をとる。
直線 ℓ の同じ側に、点P , Q があり、
点P から ℓ への垂線の足が A
点Q から ℓ への垂線の足が B であるとすると、
ℓ // PQ ならば、PA ＝ QB
( PA ＝ QB ならば、ℓ // PQ )
が成り立つから、
ℓ // PQ のとき、
△P A B ＝ △Q A B である。 ( 面積が等しい。 △P A B ≡ △Q A B だから当然なのだが )
なぜなら底辺が同じで 高さが等しいから。
さらに、
直線PQ上、
点P の左側 に 点R を
点P と 点Qの間 に 点S を
点Q の右側 に 点T を
それぞれとると、
△R A B ＝ △P A B ＝ △S A B ＝ △Q A B ＝ △T A B である。
なぜなら底辺が同じで 高さが等しいから。
このように、形は異なるが、底辺が同じで高さが等しい三角形は、面積が等しい。
( 小学算数の 三角形の面積公式 より )
面積が等しい三角形を、等積三角形 という。
○ 次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
AD // BC の台形A B C D がある。
対角線AC , DB をひき、その交点を O とする。
このとき、
△A B O ＝ △D C O ( △A B O と △D C Oが等積三角形 ) である。
なぜか。
AD // BC より、底辺が[ ]で高さが[ ] から、
[ ] ＝ △D B C である。
また、
△A B C ＝ △A B O ＋ [ ]
△D B C ＝ △D C O ＋ [ ]
だから、
△A B O ＝ △D C O となる。
底辺が[ ]で 高さが[ ]三角形 から [ ]の三角形をひくと、
形は[ ]が面積の[ ]等積三角形ができる。( 台形の中の等積三角形 )
次回の ㉝ 『 等積変形 』 に続きます。