○ 正方形の性質 「 対角線の長さが等しく かつ 垂直に交わる。」
すなわち 「 正方形は、対角線の長さが等しく かつ 垂直に交わる四角形 である。」 を導きましょう。
次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
( 証明 )
正方形A B C D がある。
対角線AC, BD をひき、その交点を O とする。
△A B C と [ △D C B ] について
正方形は [ ４つの辺 ] が等しく かつ [ ４つの角] が等しいから、 (定義)
[ AB ] ＝ DC ・ ・ ・ ①
∠A B C ＝ [ ∠D C B ] ・ ・ ・ ②
[ 共通の辺 ] だから、
BC ＝ CB ・ ・ ・ ③
①, ②, ③ より、
[ ２辺とその間の角がそれぞれ等しい ] から、
△A B C ≡ [ △D C B ] である。
合同な図形の対応する辺は等しいから、
[ AC ＝ DB ] である。
さらに、
正方形は４つの辺が等しいから、
△A B D は、AB ＝ AD の [ 二等辺 ] 三角形である。
また、２組の対辺がそれぞれ等しいから、 (平行四辺形になるための条件)
正方形は [ 平行四辺形 ] なので、
対角線がそれぞれ[中点]で交わり、BO ＝ OD である。 (平行四辺形の性質)
よって、
AOは、二等辺三角形A B D の[中線] になり、底辺BDと[垂直] に交わる。 ( 二等辺三角形の性質 )
ゆえに、
AO ⊥ BD である。
以上より、
正方形は、対角線の長さが等しく かつ 垂直に交わる四角形 である。
( 証明終わり )
☆ 正方形になるための条件
(１) [ 対角線 ] の長さが等しく かつ 垂直に交わる[ 平行四辺形 ] は、正方形 である。
(２) １組の [ となりあう辺 ] の長さが等しく かつ １つの角が 90°である[ 平行四辺形 ] は、正方形 である。
○ 平行線の作図
次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
水平方向に直線 ℓ がある。
直線 ℓ の上方に、平行な直線をひく。
ℓ 上に点A をとり、
ある一定の長さをとったコンパスの針を 点[ ] にさし、上方から右側にかけて弧をえがく。
この弧 と ℓ との[ ] を B とする。
また、点Aの 右上方の 弧の線上に 点P をとる。
つぎに、点[ ] に針をさし、同じ長さで右上方に弧をえがく。
さらに、点[ ] に針をさし、同じ長さで右側に弧をえがき、先ほどの弧との交点をえて、その交点を Q とする。
点P と 点Q を、定規を使って 直線で結べば、この直線が ℓ に [ ]な直線である。
なぜなら、こうしてできた四角形A B Q P は、４つの辺が等しいから [ ] であり、
[ ] は、２組の対辺がそれぞれ等しいから、[ ]の仲間に含まれ、
[ ] は、２組の対辺がそれぞれ平行だから、
AB と PQ が [ ] になるので。
１回目のコンパス使用で、AP ＝ AB となる点[ ] を決定し、そのような点P をとる。
２回目のコンパス使用で、AB ＝ [ ] となるような点Q を求めようとし、
３回目のコンパス使用で、( AP ＝ ) PQ ＝ BQ となる点[ ] を決定した。
よって、４点A, B, Q, P は、[ ]の４頂点である。
○ ある点を通る平行線の作図
次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
点P が、水平方向の直線 ℓ の上方にある。
コンパスの針を点[ ] にさし、ℓ に十分とどく長さで 右側から右下方へ弧をえがき、ℓ との[ ]を A とする。
つぎに、同じ長さで針を点[ ] にさし、右側に弧をえがき、ℓ との[ ]を B とする。
さらに、同じ長さで針を点[ ] にさし、左上方に弧をえがくと１回目の弧との[ ]ができ Q とする。
点P と 点Qを、定規を使って直線で結ぶと、点Pを通り 直線 ℓ に平行な直線のできあがり。
１回目のコンパス使用で、PQ ＝ [ ] となる点A を決定し、そのような点Q を求めようとし、
２回目のコンパス使用で、PA ＝ [ ] となる点B を決定し、
３回目のコンパス使用で、( PQ ＝ ) AB ＝ BQ となる点Q を決定した。
よって、４点P, A, B, Q は、ひし形の４頂点である。
次回の ㉜ 『 平行線 と 面積 』 に続きます。