㉟ 『 合同証明の応用 』
【 辺上にある点 を通る等分線の作図 】
○ 次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
(1) AB ＝ 5 , BC ＝ 6 , CA ＝ 4 の △A B C がある。
辺BC上に、BP ＝ 2 となる点P をとる。
点P を通り△A B C の面積を二等分する直線をひきましょう。
点A と 点Pを直線で結ぶ。
点A を通り △A B C の面積を二等分する直線は、辺BCの[中点]を通る。この[中点]を D とする。( 中線AD )
点D を通り 直線AP に[平行]な直線をひく。
この平行線 と 辺CAの交点を Q とする。
点P と 点Q を直線で結ぶ。
△D A P と △Q A P は [等積]三角形 だから、
直線PQ が、点P を通り △A B C の面積を[二等分]する直線である。
(2) AB ＝ 5 , BC ＝ 6 , CA ＝ 4 の △A B C がある。
辺BC上に、BP ＝ 3 となる点P をとる。
点P を通り△A B C の面積を三等分する直線をひきましょう。
点A と 点Pを直線で結ぶ。
辺BC の三等分点D , E をとる。( BD ＝ DE ＝ EC ＝ 2 )
直線 AD , AE により、△A B C の面積は三等分される。
点D を通り 直線APに[平行]な直線をひく。
この平行線 と 辺ABの交点を Q とする。
点P と 点Q を直線で結ぶ。
△A Q D と [△P Q D] は 等積三角形 だから、
直線PQ が、点P を通り △A B C の面積を三等分する １つの直線である。
点E を通り 直線[AP] に平行な直線をひく。
この平行線 と 辺CAの交点を R とする。
点P と 点R を直線で結ぶ。
[△A E R] と △P E R は 等積三角形 だから、
直線PR が、点P を通り △A B C の面積を三等分する もう１つの直線である。
【 合同証明の応用 】
○ AB ： BC ： CA ＝ 4 ： 5 ： 3 の△A B C がある。
ABを １辺とする正三角形A D B 、 ( 点D は 辺AB について 点C の反対側 )
CAを １辺とする正三角形C E A を描く。 ( 点E は 辺CA について 点B の反対側 )
点B と 点E を
点D と 点C を それぞれ直線で結び、その交点を F とする。
このとき、
次の問いに答えなさい。
（１） BE ＝ DC を証明しなさい。
（２） ∠D F E の大きさを求めなさい。
次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
（１） ( 証明 )
△A B E と △A D C について
正三角形は、[ ]が等しく [ ]が等しいから、
正三角形A D B と 正三角形C E A より、
[ ] ・ ・ ・ ①
[ ] ・ ・ ・ ②
∠E A B ＝ [ ] ＋ 60°
[ ] ＝ [ ] ＋ 60°だから、
∠E A B ＝ [ ] ・ ・ ・ ③
①, ②, ③より、
[ ] から、
△A B E ≡ △A D C である。
合同な図形の[ ] は等しいから、
[ ] である。
( 証明終わり )
（２） ∠D F E の[ ] は、∠B F C である。
２点A , F を通る直線をひき、( 辺BC との交点を G として、)
三角形の外角 を考えると、
( ∠G F B ＝ ∠A B E ＋ ∠F A B
∠G F C ＝ ∠A C D ＋ ∠F A C となり、 )
( ∠B F C ＝ ∠G F B ＋ ∠G F C
∠C A B ＝ ∠F A B ＋ ∠F A C だから、 )
∠B F C ＝ ∠A B E ＋ ∠A C D ＋ [ ] ← ( やじり形の１つの凹の角は、３つの凸の角の和に等しい )
（１） の △A B E ≡ △A D C より、
合同な図形の[ ] は等しいから、
∠A B E ＝ [ ] である。
よって、
∠B F C ＝ ∠A B E ＋ ∠A C D ＋ ∠C A B
＝ [ ] ＋ ∠A C D ＋ ∠C A B
△A D C において
[ ] ＋ ∠A C D ＋ ∠C A B ＋ 60°＝ 180°
ゆえに、∠B F C ＝ [ ] ＝ 120°
(答え) ∠D F E ＝ 120° である。
○ AB ： BC ： CA ＝ 5 ： 3 ： 4 の△A B C がある。
ABを １辺とする正方形A E F B 、 ( 点E, F は 辺AB について点C の反対側 )
CAを １辺とする正方形C G H A を描く。 ( 点G, H は 辺CA について点B の反対側 )
点E と 点C を
点B と 点H を それぞれ直線で結び、その交点を P とする。
このとき、
次の問いに答えなさい。
（１） EC ＝ BH を証明しなさい。
（２） ∠E P H の大きさを求めなさい。
次回の ㊱ 『 合同と等積三角形を使って 』 に続きます。