㉘ 『 証明済みの条件を使う 』
○ 「 ２組の対辺がそれぞれ等しい四角形は、平行四辺形である。」 (性質の逆) を導きましょう。
次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
( 証明 )
AB ＝ CD , BC ＝ DA である四角形A B C D がある。
対角線AC をひく。
[△A B C ] と [△C D A ] について
[ 仮定より ] 、
[ AB ＝ CD ] ・ ・ ・ ①
[ BC ＝ DA ] ・ ・ ・ ②
[ 共通の辺だから ] 、
[ AC ＝ CA ] ・ ・ ・ ③
①, ②, ③ より、
[ ３辺がそれぞれ等しいから ] 、
[ △A B C ≡ △C D A ] である。
[ 合同な図形の対応する角 ] は等しいから、
[ ∠B C A ＝ ∠D A C ] ・ ・ ・ ④
[ ∠C A B ＝ ∠A C D ] ・ ・ ・ ⑤
である。
④より、錯角が等しいから、AD // BC
⑤より、錯角が等しいから、AB // DC
よって、
平行四辺形の定義により
四角形A B C D は、平行四辺形である。
以上より、
２組の対辺がそれぞれ等しい四角形は、平行四辺形である。
( 証明終わり )
○ 「 ２組の対角がそれぞれ等しい四角形は、平行四辺形である。」 (性質の逆) を導きましょう。
次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
この証明は、
合同による証明ではなく、
「 ２直線が平行 ⇔ 錯角・同位角が等しい 」
( ２直線が平行 と 錯角・同位角が等しい は 同値 である。 )
を使った証明である。
( 証明 )
∠D A B ＝ ∠B C D , ∠A B C ＝ ∠C D A である四角形A B C D がある。
仮定より、
∠D A B ＝ ∠B C D ・ ・ ・ ①
∠A B C ＝ ∠C D A ・ ・ ・ ②
①, ② により、
∠D A B ＋ ∠A B C ＝ [∠B C D ＋ ∠C D A ] ・ ・ ・ ③
∠D A B ＋ ∠C D A ＝ [∠B C D ＋ ∠A B C ] ・ ・ ・ ④
[ 四角形の内角の和 ] は 360°であるから、
[∠D A B ＋ ∠A B C ＋ ∠B C D ＋ ∠C D A ] ＝ 360°・ ・ ・ ⑤
③, ⑤ より、
∠D A B ＋ ∠A B C ＝ 180°・ ・ ・ ⑥
④, ⑤ より、
∠D A B ＋ ∠C D A ＝ 180°・ ・ ・ ⑦
辺ADを、両方に延長し、直線 EADF とする。
一直線は、180°だから、
[ ∠D A B ] ＋ ∠E A B ＝ 180°・・・⑧
[ ∠C D A ] ＋ ∠C D F ＝ 180°・・・⑨
⑥, ⑧ より、[ ∠A B C ＝ ∠E A B ] となり [ 錯角 ] が等しいから、
AD // BC
⑦, ⑨ より、[ ∠D A B ＝ ∠C D F ] となり [ 同位角 ] が等しいから、
AB // DC
よって、
平行四辺形の定義により
四角形A B C D は、平行四辺形である。
以上より、
２組の対角がそれぞれ等しい四角形は、平行四辺形である。
( 証明終わり )
○ 「 １組の対辺が平行で かつ 等しい四角形は、平行四辺形である。」 を導きましょう。
次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
( 証明 )
AB // CD , AB ＝ CD である四角形A B C D がある。
対角線AC をひく。
[ △A B C ] と [ △C D A ] について
[ AB // CD ] より、 ( 錯角は等しいから )
∠B A C ＝ ∠D C A ・ ・ ・ ①
仮定より、
[ AB ＝ CD ] ・ ・ ・ ②
[ 共通の辺 ] だから、
AC ＝ CA ・ ・ ・ ③
①, ②, ③ より、
[ ２辺とその間の角がそれぞれ等しい ] から、
[ △A B C ≡ △C D A ] である。
合同な図形の対応する角は等しいから、
[ ∠B C A ＝ ∠D A C ]
[ 錯角 ] が等しいので、
[ AD // BC ] である。
よって、
平行四辺形の定義により
四角形A B C D は、平行四辺形である。
以上より、
１組の対辺が平行でかつ等しい四角形は、平行四辺形である。
( 証明終わり )
○ 「 対角線がそれぞれ中点で交わる四角形は、平行四辺形である。」 (性質の逆) を導きます。
次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
( 証明 )
四角形A B C D がある。
対角線AC, BD をひき、これらの交点を O とする。
このとき、OA ＝ OC , OB ＝ OD である。
△O D A と △O B C について
[ ] 、
[ ] ・ ・ ・ ①
[ ] ・ ・ ・ ②
[ ] は等しいから、
[ ] ・ ・ ・ ③
①, ②, ③ より、
[ ] から、
△O D A ≡ △O B C である。
合同な図形の対応する辺は等しいから、
[ ] ・ ・ ・ ④
合同な図形の対応する角は等しいから、
[ ]
[ ] が等しいので、
[ ] ・ ・ ・ ⑤
④, ⑤ より、
四角形A B C D は、[ ] である。
[ ] は、平行四辺形 であるから、 ( 証明済みの条件 )
この四角形A B C D は、平行四辺形である。
以上より、
対角線がそれぞれ中点で交わる四角形は、平行四辺形である。
( 証明終わり )
次回の ㉙ 『 特別な平行四辺形 』 に続きます。