㉙ 『 特別な平行四辺形 』
○ 「 対角線がそれぞれ中点で交わる四角形は、平行四辺形である。」 (性質の逆) を導きます。
次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
( 証明 )
四角形A B C D がある。
対角線AC, BD をひき、これらの交点を O とする。
このとき、OA ＝ OC , OB ＝ OD である。
△O D A と △O B C について
[ 仮定より ] 、
[ OA ＝ OC ] ・ ・ ・ ①
[ OD ＝ OB ] ・ ・ ・ ②
[ 対頂角 ] は等しいから、
[ ∠A O D ＝ ∠C O B ] ・ ・ ・ ③
①, ②, ③ より、
[ ２辺とその間の角がそれぞれ等しい ] から、
△O D A ≡ △O B C である。
合同な図形の対応する辺は等しいから、
[ DA ＝ BC ] ・ ・ ・ ④
合同な図形の対応する角は等しいから、
[ ∠C A D ＝ ∠A C B ( あるいは ∠B D A ＝ ∠D B C ) ]
[ 錯角 ] が等しいので、
[ AD // BC ] ・ ・ ・ ⑤
④, ⑤ より、
四角形A B C D は、[ １組の対辺が平行でかつ等しい四角形 ] である。
[ １組の対辺が平行でかつ等しい四角形 ] は、平行四辺形 であるから、 ( 証明済みの条件 )
この四角形A B C D は、平行四辺形である。
以上より、
対角線がそれぞれ中点で交わる四角形は、平行四辺形である。
( 証明終わり )
長方形の定義 ： ４つの角が等しい四角形 を 長方形 という。
ひし形の定義 ： ４つの辺が等しい四角形 を ひし形 という。
正方形の定義 ： ４つの辺が等しく かつ ４つの角が等しい四角形 を 正方形 という。
○ 次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
長方形の性質 「 対角線の長さが等しい。」
すなわち 「長方形は、対角線の長さが等しい四角形である。」 を導きます。
( 証明 )
長方形A B C D がある。
対角線AC, BD をひく。
△A B C と △D C B について
長方形は [ ] が等しいから、
∠A B C ＝ ∠D C B ・ ・ ・ ①
また [ ] がそれぞれ等しいから、
長方形は [ ] なので、
AB ＝ DC ・ ・ ・ ②
[ ] だから、
BC ＝ CB ・ ・ ・ ③
①, ②, ③ より、
[ ] から、
△A B C ≡ △D C B である。
合同な図形の[ ] は等しいから、
AC ＝ DB
以上より、
長方形は、対角線の長さが等しい四角形である。
( 証明終わり )
☆ 長方形になるための条件
(１) 対角線の長さが等しい[ ] は、長方形 である。
(２) １つの角が 90°である[ ] は、長方形 である。
○ 次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
ひし形の性質 「 対角線が垂直に交わる。」
すなわち 「 ひし形は、対角線が垂直に交わる四角形である。」 を導きます。
( 証明 )
ひし形A B C D がある。
対角線AC, BDをひき、交点を O とする。
ひし形は４つの辺が等しいから、
△A B D は、AB ＝ AD の [ ] 三角形である。
また、２組の対辺がそれぞれ等しいから、
ひし形は [ ] なので、
対角線がそれぞれ[ ]で交わり、BO ＝ OD である。
よって、
AOは、二等辺三角形A B D の[ ] になり、底辺BDと[ ] に交わる。
ゆえに、
AO ⊥ BD である。
以上より、
ひし形は、対角線が垂直に交わる四角形である。
( 証明終わり )
☆ ひし形になるための条件
(１) 対角線が垂直に交わる[ ] は、ひし形 である。
(２) １組の となりあう辺の長さが等しい[ ] は、ひし形 である。
次回の ㉚ 『 逆は、必ずしも 』 に続きます。