㉔ 『 直角三角形の合同証明 』
○ 次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
半直線OX と 半直線OY からなる∠Y O X がある。
この∠Y O X の二等分線上に任意の点P をとる。
( ただし、点P は、点O とは一致しない。)
点P から 半直線OX と OY に垂線をひき、それぞれの足をH と I とする。
このとき、PH ＝ PI を証明しなさい。
線分PH を 辺とする三角形は、△[ P O H ] であり、
線分PI を 辺とする三角形は、△[ P O I ] である。
( 証明 )
[ △P O H ] と [ △P O I ] について
根拠 OP は∠Y O X の[ 二等分線 ] だから、
主張 [ ∠P O H ] ＝ ∠P O I ・ ・ ・ ①
根拠 PH ⊥ OX , PI ⊥ OY だから、
主張 ∠O H P ＝ [ ∠O I P ] ＝ [ 90 ] °・ ・ ・ ②
根拠 [ 共通 ] の辺だから、
主張 PO ＝ PO ・ ・ ・ ③
①, ②, ③ より、
合同条件 [ 斜辺 ] と [ １つの鋭角 ] がそれぞれ等しい[ 直角三角形 ] だから、
△P O H ≡ △P O I である。
合同な図形の対応する[ 辺 ] は等しいから、
[ PH ＝ PI ] である。
( 証明おわり )
○ 次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
上の証明は、何を証明したのか？
それは、
角の[ ]上の任意の[ ] から 角をなす２辺に ひいた垂線の[ ] は 等しい。
ということである。
では、このことを証明して何の役に立つのか？
それは、
三角形の [ ] を描くとき、
役に立つ。
なぜなら、
三角形の内角の二等分線の[ ] から ３辺にひいた垂線の長さは等しいから。
さあ、
実際に三角形の [ ] を描きましょう。
△A B C を描きます。
ⅰ) ∠A B C の [ ] をひきます。
ⅱ) ∠A C B の [ ] をひきます。
ⅲ) これらの二等分線の交点を I とし、
交点 I から 辺BC に[ ]をひきその足を H とします。
ⅳ) コンパスで I H の長さをとり、点 I を [ ] に 円を描くと、
△A B C の内接円のできあがり。
角の二等分線の作図 ( ４手順 )
角の二等分線の作図 ( ４手順 )
直線上に[ ]点 から その直線への [ ]の作図 ( ４手順 )
円の作図 ( １手順 )
合計１３手順で、三角形の [ ] の作図ができる。
内接円の中心を [ ] という。
○ 半直線OX と 半直線OY からなる∠Y O X がある。
ある点Qを∠Y O X の内部にとる。
点Q から 半直線OX と OY に垂線をひき、それぞれの足をR と S とする。
QR ＝ QS のとき、
∠Q O R ＝ ∠Q O S であること
と
OR ＝ OS であることを 証明してください。
( 証明 )
△Q O R と △Q O S について
根拠 QR ⊥ OX , QS ⊥ OY だから、
主張 ∠O R Q ＝ ∠O S Q ＝ 90°・ ・ ・ ①
根拠 仮定より、
主張 QR ＝ QS ・ ・ ・ ②
根拠 共通 の辺だから、
主張 QO ＝ QO ・ ・ ・ ③
①, ②, ③ より、
合同条件 斜辺 と 他の１辺 がそれぞれ等しい 直角三角形 だから、
△Q O R ≡ △Q O S である。
合同な図形の対応する 角 や 辺 は等しいから、
∠Q O R ＝ ∠Q O S であり、
OR ＝ OS である。
( 証明おわり )
上の証明は、何を証明したのか？
それは、
角の内部にある点 から 角をなす２辺に ひいた垂線の長さが等しいとき、
角の頂点 と 内部の点を結んだ直線は、その角の二等分線であり、
角の頂点 と 垂線の足を結んだ線分は、等しい。
ということである。
では、このことを証明して何の役に立つのか？
それは、
円外の１点から円にひいた接線の長さは、等しい。 ( 中３数学 円の性質 )
ということを知るのに役に立つ。
次回の ㉕ 『 定義から性質 平行四辺形 』 に続きます。