㉓ 『 直角三角形の合同条件２ 』
２つの直角三角形は、次の２つの場合に合同である。
1⃣ 「 斜辺 と １つの鋭角 が、それぞれ等しいとき 」
2⃣ 「 斜辺 と 他の１辺 が、それぞれ等しいとき 」
では、つぎに2⃣ を証明しましょう。
○ 次の [ ] に、適切な語句・式などを入れてください。
「 斜辺 と 他の１辺 が、それぞれ等しいとき、２つの直角三角形は 合同である。」 を証明します。
まず、２つの直角三角形を描いて、
等しい斜辺 と 等しい他の１辺 を押さえましょう。
仮定 ： [ 斜辺 ] と[ 他の１辺 ] がそれぞれ等しい２つの直角三角形がある。
[ 結論 ] ： その [ ２つの直角三角形 ] は [ 合同 ] である。
よって、
斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい２つの直角三角形 について考えます。
1⃣ では、
1つの[鋭角] と [直角] と 内角の和[180]°の３つの情報 から もう１つの[鋭角]が等しい ことがわかった。
ところが、
この2⃣では、
角について情報は、「 直角 」 と 「 内角の和180°」 の２つ。
辺についての情報は、「斜辺が等しい」 と 「他の１辺が等しい」 の２つ。
これらの情報から、
もう１つの他の辺 や 鋭角 についてわかることは、今のところなし。
だから、
テクニカルな方法で証明することになります。
（ 証明 ）
∠B C A ＝ 90°の △A B C と ∠E F D ＝ 90°の △D E F がある。
AB ＝ DE , CA ＝ FD とする。
△A B C と △D E F について
根拠 仮定より、
主張 [ AB ＝ DE ] ・ ・ ・ ①
主張 [ ∠B C A ＝ ∠E F D ] ＝ 90° ・ ・ ・ ②
根拠 仮定より、
CA ＝ FD なので、
( 必要なら △D E F を 線分FD について対称移動させ ( FDを軸にしてひっくり返し )、)
△A B C と △D E F を、
辺CA と 辺FD が 一致するように くっつける。
すると、
∠B C A ＝ ∠E F D ＝ 90°より、
∠B C A ＋ ∠E F D ＝ [ 180 ] °だから、
点B, C(F), E は、一直線上に存在することになり、△A(D) B E ができる。
そして、
この△A(D) B E は、AB ＝ A(D)E の[ 二等辺三角形 ]である。 (定義)
二等辺三角形は、[ 底角 ] が等しいから、 (性質)
∠A B E ＝ ∠A(D) E B
すなわち、
[ ∠A B C ＝ ∠D E F ] ・ ・ ・ ③
①, ②, ③ より、
合同条件 [ 斜辺 と １つの鋭角 がそれぞれ等しい ] 直角三角形 だから、
△A B C ≡ △D E F である。
以上より、
斜辺 と [ 他の１辺 ] がそれぞれ等しい２つの直角三角形は合同である。
（ 証明終わり ）
この証明の流れ
斜辺 と 他の１辺 がそれぞれ等しい２つの直角三角形 →
( ひっくり返して ) それぞれの等しい他の１辺を くっつける →
それぞれの等しい斜辺を ２辺とする二等辺三角形をつくる (定義) →
底角が等しい (性質) →
直角三角形の合同条件の 1⃣ 「斜辺 と １つの鋭角 がそれぞれ等しいとき」 をさっそく使う
○ 次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
半直線OX と 半直線OY からなる∠Y O X がある。
この∠Y O X の二等分線上に任意の点P をとる。
( ただし、点P は、点O とは一致しない。)
点P から 半直線OX と OY に垂線をひき、それぞれの足をH と I とする。
このとき、PH ＝ PI を証明しなさい。
線分PH を 辺とする三角形は、△[ ] であり、
線分PI を 辺とする三角形は、△[ ] である。
( 証明 )
[ ] と [ ] について
根拠 OP は∠Y O X の[ ] だから、
主張 [ ] ＝ ∠P O I ・ ・ ・ ①
根拠 PH ⊥ OX , PI ⊥ OY だから、
主張 ∠O H P ＝ [ ] ＝ [ ] °・ ・ ・ ②
根拠 [ ] の辺だから、
主張 PO ＝ PO ・ ・ ・ ③
①, ②, ③ より、
合同条件 [ ] と [ ] がそれぞれ等しい[ ] だから、
△P O H ≡ △P O I である。
合同な図形の対応する[ ] は等しいから、
[ ] である。
( 証明おわり )
○ 半直線OX と 半直線OY からなる∠Y O X がある。
ある点Qを∠Y O X の内部にとる。
点Q から 半直線OX と OY に垂線をひき、それぞれの足をR と S とする。
QR ＝ QS のとき、
∠Q O R ＝ ∠Q O S であること
と
OR ＝ OS であることを 証明してください。
次回の ㉔ 『 直角三角形の合同証明 』 に続きます。