㉒ 『 直角三角形の合同条件 』

　　　　　　㉒ 『 直角三角形の合同条件 』

　　【 直角三角形 の 合同条件 】
　　２つの直角三角形は、次の２つの場合に合同である。
　　1⃣　「 斜辺 と １つの鋭角 が、それぞれ等しいとき 」
　　2⃣　「 斜辺 と 他の１辺 が、それぞれ等しいとき 」

　　　1⃣ を証明しましょう。
　　○　次の [　　　　] に、適切な語句・式などを入れてください。

　　「 斜辺 と １つの鋭角 が、それぞれ等しいとき、２つの直角三角形は 合同である。」 を証明します。

　　必ず、２つの直角三角形を描いて、
　　等しい斜辺 と 等しい１つの鋭角 を押さえましょう。

　　[ 仮定 ] ：　[ 斜辺 ] と１つの[ 鋭角 ] がそれぞれ等しい２つの[ 直角三角形 ] がある。
　　　結論　 ：　その２つの直角三角形は [ 合同 ] である。
　　よって、
　　　斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい２つの直角三角形 について考えます。
　　　根拠・主張として使える情報は [ ４ ] つ。

　　　　「斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい」 より、
　　　　　　・　[ 斜辺 ] が等しい　。(仮定)
　　　　　　　　　　　　　と
　　　　　　・　１つの [ 鋭角 ] が等しい　。（仮定）
　　　　　　　　　　これ と 「２つの直角三角形」 より、
　　　　　　　　　　　・　１つの角が [ 直角 ] で等しい　。（定義、概念）
　　　　　　　　　　　・　ともに内角の和は [ 180 ] °。（既に正しいと認められたこと）
　　　　　　　　　　ゆえに、
　　　　　　　　　　　もう１つの [ 鋭角 ] も等しくなる。

　　さあ、証明しましょう。

　　　　　　　　（ 証明 ）
　　　　　　　　∠B C A ＝ 90°の △A B C　と　∠E F D ＝ 90°の △D E F　がある。
　　　　　　　　AB ＝ DE , ∠A B C ＝ ∠D E F とする。

　　　　　　　　　　　△A B C と △D E F について
　　　根拠　　　　　　仮定より、
　　　主張　　　　　　　　　[ AB ＝ DE ]　　　 ・ ・ ・　①
　　　主張　　　　　 　∠A B C ＝ ∠D E F　 ・ ・ ・　②

　　　根拠　　　　　　仮定より、
　　　　　　　　　　　　　[ ∠A B C ＝ ∠D E F ]
　　　　　　　　　　　　　　∠B C A ＝ ∠E F D ＝ [ 90 ] °
　　　　　　　　　　　　三角形の内角の和は180°だから、
　　　　　　　　　　　　　　∠C A B ＝ 180°－　∠A B C　－　∠B C A
　　　　　　　　　　　　　　∠F D E ＝ 180°－　∠D E F　－　∠E F D
　　　主張　　　　　　よって、
　　　　　　　　　　　 　[ ∠C A B ＝ ∠F D E ]　・ ・ ・　③

　　　　　　　　　　　　①, ②, ③　より、
　　合同条件　　　　　[ １辺とその両端の角がそれぞれ等しい ] から、
　　　　　　　　　　　　△A B C ≡ △D E F　である。

　　　　　　　　　　　以上より、
　　　　　　　　　　　[ 斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい ] ２つの直角三角形は合同である。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ 証明終わり ）

　２つの直角三角形は、次の２つの場合に合同である。
　1⃣　「 斜辺 と １つの鋭角 が、それぞれ等しいとき 」
　2⃣　「 斜辺 と 他の１辺 が、それぞれ等しいとき 」

では、つぎに2⃣ を証明しましょう。
○　次の [　　　　] に、適切な語句・式などを入れてください。

　「 斜辺 と 他の１辺 が、それぞれ等しいとき、２つの直角三角形は 合同である。」 を証明します。

　まず、２つの直角三角形を描いて、
　等しい斜辺 と 等しい他の１辺 を押さえましょう。

　仮定  　：　[　　　　] と[　　　　　　 ] がそれぞれ等しい２つの直角三角形がある。
[　　　　]　：　その [　　　　　　　　　　　　　] は [　　　　] である。
よって、
　斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい２つの直角三角形 について考えます。

1⃣ では、
1つの[　　　　] と [　　　　] と 内角の和[　　　 ]°の３つの情報　から　もう１つの[　　　　]が等しい ことがわかった。

ところが、
この2⃣では、
角についての情報は、「 直角 」 と 「 内角の和180°」 の２つ。
辺についての情報は、「斜辺が等しい」 と 「他の１辺が等しい」 の２つ。
これらの情報から、
もう１つの他の辺 や １つの鋭角 についてわかることは、今のところなし。
だから、
テクニカルな方法で証明することになります。

　　　　　　　　（ 証明 ）
　　　　　　　　∠B C A ＝ 90°の △A B C　と　∠E F D ＝ 90°の △D E F　がある。
　　　　　　　　AB ＝ DE , CA ＝ FD とする。

　　　　　　　　　△A B C と △D E F について
　根拠　　　　　　仮定より、
　主張　　　　　　　　　 [　　　　　　　]　　　　　　　　　　　　・ ・ ・　①
　主張　　　　　　[　　　　　　　　　　　　　　] ＝ 90° 　　　・ ・ ・　②

　根拠　　　　　　仮定より、
　　　　　　　　　　CA ＝ FD なので、
　　　　　　　　　　( 必要なら △D E F を 線分FD について対称移動させ ( FDを軸にしてひっくり返し )、)
　　　　　　　　　　△A B C と △D E F を、
　　　　　　　　　　辺CA と 辺FD が 一致するように くっつける。
　　　　　　　　　　すると、
　　　　　　　　　　∠B C A ＝ ∠E F D ＝ 90°より、
　　　　　　　　　　∠B C A ＋ ∠E F D ＝ [　　　 ] °だから、
　　　　　　　　　　点B, C(F), E は、一直線上に存在することになり、△A(D) B E ができる。
　　　　　　　　　　そして、
　　　　　　　　　　この△A(D) B E は、AB ＝ A(D)E の[　　　　　　　　　　]である。　　　(定義)
　　　　　　　　　　二等辺三角形は、[　　　　] が等しいから、　　　　　　　　　　　　　　　　(性質)
　　　　　　　　　　∠A B E ＝ ∠A(D) E B
　　　　　　　　　　すなわち、
　　　　　　　　　　[　　　　　　　　　　　　　　]　・ ・ ・　③

　　　　　　　　　　①, ②, ③　より、
合同条件　　　　　[　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　] 直角三角形 だから、
　　　　　　　　　　△A B C ≡ △D E F　である。

　　　　　　　　　以上より、
　　　　　　　　　斜辺 と [　　　　　　　] がそれぞれ等しい２つの直角三角形は合同である。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ 証明終わり ）


次回の　㉓ 『 直角三角形の合同条件２ 』　に続きます。