『 三角関数の合成 』
○ 次の式 ( 三角関数 ) を合成しなさい。
(１) sinθ＋√3 cosθ
＝ 2 ( sinθ・[ 1/2 ] ＋ cosθ・[√3 / 2 ] )
＝ 2 ( sinθ[ cos 60°] ＋ cosθ[ sin 60°] )
＝ 2 sin ( θ＋[ 60°] )
(２) √3 sinθ＋cosθ
＝[ 2 ( sinθ・√3 / 2 ＋ cosθ・1/2 ) ]
＝[ 2 ( sinθ cos 30°＋ cosθ sin 30°) ]
＝[ 2 sin ( θ ＋ 30°) ]
○ 補題
次の各問いに答えなさい。
(１) 三角方程式 sinθ＋√3 cosθ＋2 ＝ 0 を解きなさい。ただし、0°≦θ＜360°である。
(２) 方程式 sinθ＋ cosθ－√2 ＝ 0 を解きなさい。ただし、0°≦θ＜360°である。
(３) 三角関数 f (θ) ＝ 4 sinθ＋ 3 cosθ の 0°≦θ≦180°における最大値と最小値を求めなさい。
(４) 三角関数 f (θ) ＝√3 sinθ＋ cosθ の 0°≦θ≦180°における最大値と最小値を求めなさい。
解答は、下の方にあります。
○ なぜ、√( 係数の２乗の和 ) でくくるのか？
三角関数の合成公式 ：
a sinθ＋ b cosθ ＝ √(a²＋b²) sin (θ＋α) ( a²＋b² ≠ 0 )
（ ここでαは 点P ( a , b ) とするときの OP の x 軸とのなす角である。）
これを丸覚えして使える生徒を、私は見たことがありません。
さあ、もう一度導きましょう。
a sinθ＋ b cosθの ２項式 の
三角関数記号の係数である a と b を 座標にもつ点P ( a , b ) を、 x y 座標平面の第１象限にとり、
原点O と 点P を結んだ線分OP と x 軸正の方向 とのなす角を α とします。
端点をOとした半直線OP と 単位円 ( 中心が原点Oで、半径が 1 の円 ) との交点を求める。
すなわち、半直線OP上で 原点Oからの距離が 1 である点の座標を求める。
半直線OP と 単位円 との交点を A ( x , y ) とし、
点P から x 軸に垂線をひき、その足を H、
点A から x 軸に垂線をひき、その足を I とする。
△A O I と △P O H について
根拠 共通の角だから、
主張 ∠A O I ＝ ∠P O H ・ ・ ・ ①
根拠 AI ⊥ OI , PH ⊥ OH より、
主張 ∠O I A ＝ ∠O H P ＝ 90°・ ・ ・ ②
①,②より、
相似条件 ２組の角がそれぞれ等しいから、
△A O I ∽ △P O H である。
相似な図形の対応する辺の比は、すべて等しいから、
AO ： PO ＝ OI ： OH ＝ IA ： HP が成り立つ。
AO ＝ 1 ,
PO ＝ √{ (a－0)²＋(b－0)² } ＝ √(a²＋b²) , ( 中３数学 三平方の定理 ２点間の距離 )
OI ＝ x－0 ＝ x , ( 中２数学 １次関数 座標のひき算 水平方向・鉛直方向の２点間の距離 )
OH ＝ a－0 ＝ a ,
IA ＝ y－0 ＝ y ,
HP ＝ b－0 ＝ b だから、
x ： a ＝ 1 ： √(a²＋b²)
y ： b ＝ 1 ： √(a²＋b²) より、
x ＝ a / √(a²＋b²)
y ＝ b / √(a²＋b²) となる。
よって、
A ( a / √(a²＋b²) , b / √(a²＋b²) )
である。
この単位円上の点A の座標値を求めるため、
線分OPの距離である √( 係数の２乗の和 ) でくくった。
原点O と 係数を座標とする点 との距離で その点の座標を わると、
原点Oを端点とする半直線上で
原点Oからの距離が 1 である点 ( 半直線と単位円との交点 ) の座標になる。
( 小３算数で習うわり算の概念のひとつである分配除 ： １ あたりの量を求める を使った。)
( 分配除の例
・ a 本の鉛筆を、余りなく b 人の生徒で分けられた、生徒一人当たり 何本 になりますか。
・ √(a²＋b²) グラム a 円のミンチ肉がある、１グラムあたり 何円 になりますか。
・ 点P( a , b ) の原点Oからの距離は√(a²＋b²) です。
半直線OP上で原点Oからの距離が 1 の点の座標は何ですか。 など )
単位円上の座標値がわかったら、加法定理が使って、合成のできあがり。
a sinθ＋ b cosθ
√(係数の２乗の和) でくくる
＝√(a²＋b²) ( sinθ・a / √(a²＋b²) ＋ cosθ・b / √(a²＋b²) )
cosα＝a / √(a²＋b²) , sinα＝b / √(a²＋b²) とおく
＝√(a²＋b²) ( sinθcosα＋cosθsinα )
加法定理 sin (θ＋α) ＝ sinθcosα＋cosθsinα
＝√(a²＋b²) sin (θ＋α)
○ 補題の解答
(１) 三角方程式 sinθ＋√3 cosθ＋2 ＝ 0 を解きなさい。ただし、0°≦θ＜360°である。
sinθ＋√3 cosθ
＝ 2 ( sinθ・ 1/2 ＋ cosθ・√3 / 2 )
＝ 2 ( sinθ cos 60°＋ cosθ sin 60°)
＝ 2 sin ( θ＋ 60°)
0°≦θ＜360°より、単位円使うと、
－1 ≦ sin ( θ＋ 60°) ≦ 1
－2 ≦ 2 sin ( θ＋ 60°) ≦ 2
θ＋ 60°＝ 270°すなわち θ＝210°のとき、2 sin ( θ＋ 60°) ＝－2
よって、
sinθ＋√3 cosθ＋2 ＝ 0
⇔ 2 sin ( θ＋ 60°)＋2 ＝ 0
を満たすθの値は、210°である。
(答え) θ＝ 210°
(２) 方程式 sinθ＋ cosθ－√2 ＝ 0 を解きなさい。ただし、0°≦θ＜360°である。
sinθ＋ cosθ
＝ √2 ( sinθ・ 1/√2 ＋ cosθ・1/√2 )
＝ √2 ( sinθ cos 45°＋ cosθ sin 45°)
＝ √2 sin ( θ＋ 45°)
0°≦θ＜360°より、単位円使うと、
－1 ≦ sin ( θ＋ 45°) ≦ 1
－√2 ≦ √2 sin ( θ＋ 45°) ≦ √2
θ＋ 45°＝ 90°すなわち θ＝45°のとき、√2 sin ( θ＋ 45°) ＝√2
よって、
sinθ＋ cosθ－√2 ＝ 0
⇔ √2 sin ( θ＋ 45°)－√2 ＝ 0
を満たすθの値は、45°である。
(答え) θ＝ 45°
(３) 三角関数 f (θ) ＝ 4 sinθ＋ 3 cosθ の 0°≦θ≦180°における最大値と最小値を求めなさい。
4 sinθ＋ 3 cosθ
＝ 5 ( sinθ・ 4/5 ＋ cosθ・ 3/5 )
＝ 5 ( sinθ cos α＋ cosθ sin α) [ ∵ cos α＝ 4/5 , sin α＝ 3/5 と置いたから ]
＝ 5 sin ( θ＋α )
0°≦θ≦180°より、単位円使うと、
－3/5 ≦ sin ( θ＋α ) ≦ 1
－3 ≦ 5 sin ( θ＋α ) ≦ 5
よって、
θ＋α＝ 90° すなわち θ＝ 90°－ α のとき、最大値 f (90°－ α) ＝ 5 sin 90°＝ 5
また、
θ＋α＝ 180°＋ α すなわち θ＝ 180°のとき、最小値 f ( 190°) ＝ 5 sin ( 180°＋ α ) ＝－3
以上より、
(答え) θ＝ 90°－ α のとき、最大値 5 , θ＝ 180°のとき、最小値 －3
(４) 三角関数 f (θ) ＝√3 sinθ＋ cosθ の 0°≦θ≦180°における最大値と最小値を求めなさい。
√3 sinθ＋ cosθ
＝ 2 ( sinθ・√3 / 2 ＋ cosθ・ 1/2 )
＝ 2 ( sinθ cos 30°＋ cosθ sin 30°)
＝ 2 sin ( θ ＋ 30°)
0°≦θ≦180°より、単位円使うと、
－1/2 ≦ sin ( θ ＋ 30°) ≦ 1
－1 ≦ 2 sin ( θ ＋ 30°) ≦ 2
よって、
θ ＋ 30°＝ 90° すなわち θ＝ 60° のとき、最大値 f ( 60°) ＝ 2 sin 90°＝ 2
また、
θ ＋ 30°＝ 210°すなわち θ＝ 180°のとき、最小値 f ( 180°) ＝ 2 sin 210°＝－1
以上より、
(答え) θ＝ 60°のとき、最大値 2 , θ＝ 180°のとき、最小値 －1
【 補 足 】
三角比で、 sin θ , cos θ , tan θ は、
sinθ＝対辺 / 斜辺
cosθ＝底辺 / 斜辺
tanθ＝対辺 / 底辺
と、１つの鋭角をθとした直角三角形で、定義される。
このとき、θの範囲は、0°＜ θ ＜ 90°である。
θの範囲を、拡張する ( 0°≦ θ ≦ 360°) ために、
また、三角関数・三角方程式・三角不等式を解くために、
cosθは、単位円上の点の x 座標
sinθは、単位円上の点の y 座標 ( 原点O と 単位円上の点 を結んだ線分 と x 軸正の方向とのなす角がθ )
tanθは、直線の傾き ( 直線 と x 軸正の方向とのなす角がθ )
と再定義される。
よって、
－1 ≦ cosθ≦ 1
－1 ≦ sinθ≦ 1 であり、
tanθは あらゆる実数 をとれる。 (－90°＜ θ ＜ 90°)
√(a²＋b²) sin (θ＋α) に合成した後、
単位円を使って、sin (θ＋α) の 座標を読み取る。
上の(１) は、
sin ( θ＋ 60°) だから、まず単位円上に x 軸正の方向より反時計回り60°のところに点をとり、
0°≦θ＜360°なので、その 60°のところから反時計回りに単位円上を１周できる。
よって、
sin ( θ＋ 60°) は、単位円上の点の y 座標だから、
－1 ≦ sin ( θ＋ 60°) ≦ 1 になる。
(２) は、
sin ( θ＋ 45°) だから、まず45°のところをとり、
0°≦θ＜360°なので、その 45°のところから１周できる。
よって、
－1 ≦ sin ( θ＋ 45°) ≦ 1 になる。
(３) は、
sin ( θ＋α ) だから、まず α のところをとり、 ( cosα , sinα) ＝ ( 4/5 , 3/5 )
0°≦θ≦180°なので、その α のところから半周できる。
( cos ( 180°＋ α ) , sin ( 180°＋ α ) ) ＝ ( －4/5 , －3/5 )
よって、
－3/5 ≦ sin ( θ＋α ) ≦ 1 になる。
(４) は、
sin ( θ＋ 30°) だから、まず30°のところをとり、 ( cos 30°, sin 30°) ＝ (√3 / 2 , 1/2 )
0°≦θ≦180°なので、その 30°のところから半周できる。
( cos 210°, sin 210°) ＝ (－√3 / 2 , －1/2 )
よって、
－1/2 ≦ sin ( θ＋ 30°) ≦ 1 になる。
「 数学なんか勉強しても役に立たないのに、なぜ勉強しないといけないの。」 と聞く中学生がいます。
小学算数・中学数学の知識が、高校数学の知識習得の基礎になります。
ある意味、高校数学を学ぶために、小学算数・中学数学を学ぶのです。
高校数学は、より体系的な内容をもっています。
体系的にものごとを把握するために、
数学などの教科学習を、活用しましょう。
来年も、よろしくお願いします。
次回の掲載は、新年になります。
良いお年を お迎えください。