『 解の公式は導くもの ９ 』
○ 解の公式を導くことから受ける恩恵
解の公式を導くことにより、
解の公式の意味 ( 解の公式が何を表現しているのか ) をより考えやすい。
２次方程式の解が 係数 と 定数(項) から成ることを知り、｛ 解と係数の関係 ｝を理解しやすくなる。
｛ 解と係数の関係 ｝を楽に導くことができる。
根号の中の ( b²－4ac ) が、{ 正 であるか ０ であるか 負 であるか } により、
解が１つ か ２つ であること そして解が実数 か 虚数であることを 決めるということを 理解できる。
b²－4ac が 判別式 と呼ばれる理由がよくわかる。
解の公式を導くのに式の変形は、７回。
２次方程式の｛一般式｝ から ｛解の式｝ まで全部で ８式 です。
高校数学の公式を導くことにおいて、
このように連続して式変形を７回もするもの、
これ以上面倒な式変形は、ほとんどありません。
｛ 解の公式を導く ｝という面倒な式変形に慣れていると、高校数学の公式を導くことが楽になる。
（例） 三角関数の加法定理の１つ cos (α＋β) ＝ cosαcosβ－ sinαsinβ を導く。
( 全部で４式 ： ３回の式変形 )
単位円 ｛ 中心 O （ 0 , 0 ） 半径 1 の円 ｝ 上に、４点 A , P , Q , R を次のようにとる。
x 軸上に A ( 1 , 0 )
第１象限に P ( cosα , sinα ) , Q ( cos (α＋β) , sin (α＋β) )
第４象限に R ( cos (－β) , sin (－β) ) ＝ ( cosβ , －sinβ ) をとると
AQ ＝ RP だから、 [ ∵ △OAQ ≡ △ORP （ 中２の内容 ： 合同条件「 ２辺 と 挟角 」 ） ]
２点間の距離 を ( 中３の内容 ： （座標のひき算を使って） 三平方の定理 )
利用して立式すると
{ cos (α＋β) － 1 }²＋{ sin (α＋β) － 0 }² ＝ ( cosα－cosβ)²＋( sinα＋sinβ)²
( 展開 ： ２項式の２乗は、２乗 積の２倍 ２乗 の３項式 になる。)
cos²(α＋β)－2cos (α＋β)＋1＋sin²(α＋β) ＝ cos²α－2cosαcosβ＋cos²β＋sin²α＋2sinαsinβ＋sin²β
( cos²θ＋sin²θ＝1 を使用 )
－2cos (α＋β)＋2 ＝－2cosαcosβ＋2sinαsinβ＋2
cos (α＋β) ＝ cosαcosβ－sinαsinβ
公式を導く行為は、｛ 既知を使いながら新たな知を得ること ｝を教えてくれる。
公式を導くことができるなら、公式を覚えていることになる。
( 既に使用した知識を使って、新たに使用獲得すべき知識を身につける。
かつて使用した知識が 今 でも使えることを確認できる。
公式を導くことができることは、公式を覚えているための十分条件である。)
○ （ 補講 『 解の公式は導くもの ８ 』 の宿題 ） と その解答
x の方程式 x² －2 ( sinθ＋ cosθ) x ＋ sinθ ＋ 1 ＝ 0 ・・・・・① について、
次の問いに答えなさい。( ただし、0°＜ θ ＜ 180°)
① の 解が x ＝ s , x ＝ t であるとき、
s ＋ t の最大値 と s t の最大値 を求めなさい。
また、s t が 最大値 のときの s と t の値を求めなさい。
（解答）
解と係数の関係 より
s ＋ t ＝ 2 ( sinθ＋ cosθ)
s t ＝ sinθ ＋ 1
sinθ＋ cosθ ＝ √2 ( sinθ・1/√2 ＋ cosθ・1/√2 )
＝ √2 ( sinθcos45°＋ cosθsin45°)
＝ √2 sin ( θ ＋ 45°) （三角関数の合成）
0°＜ θ ＜ 180°より、 単位円を使うと、
－1/√2 ＜ sin ( θ ＋ 45°) ≦ 1
－2 ＜ 2√2 sin ( θ ＋ 45°) ≦ 2√2
－2 ＜ s ＋ t ≦ 2√2
θ＝ 45°のとき、s ＋ t ＝ 2√2 である。
また、
0 ＜ sinθ ≦ 1
1 ＜ sinθ＋ 1 ≦ 2
1 ＜ s t ≦ 2
θ＝ 90°のとき、s t ＝ 2 である。
このとき、 ① は x² －2 x ＋ 2 ＝ 0 になる。
解の公式を使って解くと x ＝ 1 ± i である。
以上より、
（答え） s ＋ t の最大値は 2√2 （ θ＝ 45°） である。
s t の最大値は 2 （ θ＝ 90°） であり、
このとき s ＝ 1 ± i , t ＝ 1 ∓ i （複号同順） である。
もし、① に 解の公式 を使ったら、
x ＝ ( sinθ＋cosθ) ± √{ (sinθ＋cosθ)²－(sinθ＋1) } ( x ＝ { －b'±√(b'²－ac) } / a を使った )
＝ ( sinθ＋cosθ) ± √( sin²θ＋2sinθcosθ＋cos²θ－sinθ－1)
＝ ( sinθ＋cosθ) ± √( 2sinθcosθ－sinθ) ( sin²θ＋cos²θ＝1 を使った )
ここから、
結局は ２つの解の 和 と 積 を求めることになる。
解の公式だけを使って答えが出る問題は、受験者間に点数差が生まれないので、
受験者を相対的に合否判定する記述試験（国公立大学の２次試験など）では、
あまり出題されません。
点数差を生じさせる問題が出題されます。
だから、解と係数の関係、判別式 を使わないと解けない２次方程式の問題 や
少なくとも２つの単元から成る融合問題 (数列、三角関数、対数関数、指数関数 ・ ・ ・ ) などが
出題されることになります。
知識は、それを使う人によって、狭いものにも 広いものにも なり、浅いものにも 深いものにも なります。
「２次方程式の解の公式」 は、
ある人にとっては、単に a , b , c に対応する値を代入して計算するためだけのもの になる。
別の人にとっては、導くもの になり、{ 解と係数の関係 } や { 解の判別 } を理解するために使えるもの になる。
( 前者は、中３生時では、何の問題もなく、定期テストで高得点をとり、いい高校にも進学できるでしょう。)
中３生・高１生時、このように知識の程度に明らかな差が、生徒たちに生じています。
この差が大学受験の合否に影響する人もいます。( 『 解の公式は導くもの ７ 』 ４人中２人不合格 )
体系的に知識を習得することが、総合的な学習には必要です。
公式を導く行為は、その一助になります。
○ 三角関数の合成公式
a sinθ＋b cosθ ＝ √(a²＋b²) sin (θ＋α)
を丸覚えして、使うことができる生徒を、私は見たことがありません。
これが、どのようなものなのか、考えます。
右辺の一部 sin (θ＋α) から、先ず考えます。
sin (θ＋α) を加法定理で展開すると、
sin (θ＋α) ＝ sinθcosα＋cosθsinα
になる。
cosα と sinα は、単位円上 の 座標値 であるから、
( x , y ) ＝ ( cosα , sinα) とおくと、
sin (θ＋α) ＝ x sinθ＋ y cosθ
となる。
この両辺を √(a²＋b²) 倍すると、
√(a²＋b²) sin (θ＋α) ＝ √(a²＋b²) x sinθ ＋ √(a²＋b²) y cosθ
になる。
よって、
√(a²＋b²) x ＝ a
√(a²＋b²) y ＝ b とおくと、
√(a²＋b²) sin (θ＋α) ＝ a sinθ＋ b cosθ
となる。
こうして右辺から左辺が導けました。
では、左辺から右辺を導きます。
a sinθ＋ b cosθ
√(係数の２乗の和) ： √(a²＋b²) でくくる
＝ √(a²＋b²) ( sinθ・a/√(a²＋b²) ＋ cosθ・b/√(a²＋b²) )
a/√(a²＋b²) と b/√(a²＋b²) は、単位円上の座標値だから、
cosα ＝ a/√(a²＋b²) , sinα ＝ b/√(a²＋b²) とおくと、
＝ √(a²＋b²) ( sinθ cosα ＋ cosθ sinα )
加法定理を使って、
＝ √(a²＋b²) sin (θ＋α)
４式 ( 式変形 ３回 ) で導ける。
ポイントは、係数を 単位円上の座標値 に。
○ 次の式 ( 三角関数 ) を合成しなさい。
(１) sinθ＋√3 cosθ
＝ 2 ( sinθ・[ ] ＋ cosθ・[ ] )
＝ 2 ( sinθ[ ] ＋ cosθ[ ] )
＝ 2 sin ( θ＋[ ] )
(２) √3 sinθ＋cosθ
＝[ ]
＝[ ]
＝[ ]
次回は、補講 『 三角関数の合成 』 です。