『 解の公式は導くもの ８ 』
○ （ 補講 『 解の公式は導くもの ７ 』 の宿題 ）の解答
問題１ の解答
y ＝ ax² ＋ bx ＋ c [ a ≠ 0 ]
２次と１次の２項式を a でくくる
＝ a { x² ＋(b/a)x } ＋ c
x の係数の半分の２乗をたしてひく
＝ a { x² ＋(b/a)x ＋(b/2a)²－(b/2a)² } ＋ c
４項目を括弧から出す
＝ a { x² ＋(b/a)x ＋(b/2a)² } －b²/4a ＋ c
２乗、積の２倍、２乗を ２項式の２乗にし、文字式計算
＝ a ( x ＋b/2a )²－( b²－4ac ) / 4a
２次方程式の解の公式を導くのに全部で ８式 だったのに対して、
２次関数の一般式から完全平方式を導くのは全部で ５式 だ。
{ 解の公式 } を導けるなら、そのことを活用して { ２次関数の完全平方式 } を楽に導ける。
一番のポイントは、ともに { x の係数の半分の２乗 } を使うことだ。
問題２
方程式 2 t²－ (√3 ＋ 2 ) t ＋√3 ＝ 0
の２つの解が、t ＝ sin a と t ＝ sin b ( sin a ＜ sin b ) のとき、次の問いに答えよ。
( ただし、 0°≦ a ＜360°, 0°≦ b ＜360°)
(１) a と b の値をそれぞれ求めよ。
(２) sin { ( a＋b ) / 2 } cos { ( a－b ) / 2 } の値を求めよ。
（解答）
(１)
2 t²－ (√3 ＋ 2 ) t ＋√3 ＝ 0
( 因数分解 )
( 2 t －√3 )( t － 1) ＝ 0
( AB ＝ 0 ならば A＝0 または B＝0 を使用 )
t ＝ √3/2 , 1
２つの解が、t ＝ sin a と t ＝ sin b で sin a ＜ sin b だから、
sin a ＝ √3/2 , sin b ＝ 1 である。
よって、
sin a ＝ √3/2 を解くと
0°≦ a ＜360°より (単位円より)
a ＝60°, 120°
sin b ＝ 1 を解くと
0°≦ b ＜360°より (単位円より)
b ＝90°
以上より
(答) a ＝60°, 120°であり、 b ＝90°である。
(２)
2 t²－ (√3 ＋ 2 ) t ＋√3 ＝ 0
の２つの解が、t ＝ sin a と t ＝ sin b だから、
解と係数の関係より
sin a ＋ sin b ＝ (√3 ＋ 2 ) / 2 ・・・ ①
また、三角関数の和積の公式より
sin a ＋ sin b ＝ 2 sin { ( a＋b ) / 2 } cos { ( a－b ) / 2 } ・・・ ②
よって ① , ② を使って計算すると
sin { ( a＋b ) / 2 } cos { ( a－b ) / 2 } ＝ (√3 ＋ 2 ) / 4
以上より
(答) sin { (a＋b)/2 } cos { (a－b)/2 } ＝ (√3 ＋ 2 ) / 4 である。
もし、(１) で 2 t²－ (√3 ＋ 2 ) t ＋√3 ＝ 0 に 「 解の公式 」 を使うと
t ＝ { (√3 ＋ 2 ) ±√( 7－4√3 ) } / 4
√( 7－4√3 ) の２重根号をはずせないと t の値を求めるのは困難です。
もし、(２) で 「 解と係数の関係 」 と 「 和積の公式 」 を使わないと
(１) で 因数分解により あるいは
解の公式を使い２重根号をはずして 求めた t ＝ √3/2 , 1 と
t ＝ sin a , t ＝ sin b sin a ＜ sin b から
a ＝60°, 120°と b ＝90°を求めたあと、
場合分けをして、次のように求めることに。
ⅰ) a ＝60° , b ＝90°のとき
sin { ( a＋b ) / 2 } cos { ( a－b ) / 2 } は sin 75°cos (－15°) になります。
sin 75°を加法定理を使って求めると
sin 75°＝ sin ( 30°＋ 45°)
＝ sin 30°cos 45°＋ cos 30°sin 45°
＝ 1/2 ・ 1/√2 ＋ √3/2 ・ 1/√2
＝ ( √2＋√6 ) / 4
cos (－15°) ＝ cos 15° ( 公式 cos ( － θ ) ＝ cos θ を使った )
cos 15°＝ cos ( 90°－ 75°)
＝ sin 75° ( 公式 cos ( 90°－ θ ) ＝ sin θ を使った )
＝ ( √6＋√2 ) / 4
よって、sin 75°cos (－15°) ＝ ( √6＋√2 )² / 16
＝ ( 8＋4√3 ) / 16
＝ ( 2＋√3 ) / 4 になる。
ⅱ) a ＝120°, b ＝90°のとき
sin { ( a＋b ) / 2 } cos { ( a－b ) / 2 } は、sin 105°cos 15°になります。
sin 105°＝ sin ( 90°＋ 15°)
＝ cos 15° ( 公式 sin ( 90°＋ θ ) ＝ cos θ を使った )
よって、sin 105°cos 15°＝ ( 2＋√3 ) / 4 になる。
以上より、sin { ( a＋b ) / 2 } cos { ( a－b ) / 2 } ＝ (√3 ＋ 2 ) / 4 になります。
この問題の構造
(１) 先ず t の２次方程式を解き、次に単位円を使って三角方程式を解く。
(２) 解と係数の関係 と 和積の公式 を使って解くか。
あるいは、
(１) の答えを代入し場合分けして、加法定理などの公式を使って解く。
○ 補題
x の方程式 x² ＋ m x － n ＝ 0 ・ ・ ・ ① の解は、 sin 2α と sin 2β である。
このとき、次の問いに答えよ。
(１) cos 2 (α＋β) － cos 2 (α－β) を m , n を使って表せ。
(２) cos (α－β) sin (α＋β) を m , n 使って表せ。
(３) m と n の間に成り立つ式 ( m と n のみの関係式 ) を求めよ。
解答は下の方にあります。
○ （ 補講 『 解の公式は導くもの ８ 』 の宿題 ）
x の方程式 x² －2 ( sinθ＋ cosθ) x ＋ sinθ ＋ 1 ＝ 0 ・・・・・① について、
次の問いに答えなさい。( ただし、0°＜ θ ＜ 180°)
① の 解が x ＝ s , x ＝ t であるとき、
s ＋ t の最大値 と s t の最大値 を求めなさい。
また、s t が 最大値 のときの s と t の値を求めなさい。
解答は、補講 『 解の公式は導くもの ９ 』 に掲載します。
○ 補題の解答
x の ２次方程式 ①の解が sin 2α と sin 2β だから
解と係数の関係より、
sin 2α＋sin 2β＝－m ・ ・ ・ ②
sin 2α sin 2β ＝－n ・ ・ ・ ③
が成り立つ。
(１) cos 2 (α＋β) － cos 2 (α－β) ＝－2 sin 2α sin 2β だから、
③より、
答えは cos 2 (α＋β) － cos 2 (α－β) ＝ 2 n になる。
(２) sin (α＋β) cos (α－β) ＝ ( sin 2α＋sin 2β )/2 だから、
②より、
答えは cos (α－β) sin (α＋β) ＝－m/2 になる。
(３) ① の判別式を D とすると、D ＝ m² ＋ 4n である。
－1 ≦ sin 2α≦ 1 , －1 ≦ sin 2β≦ 1 だから、
解 sin 2α と sin 2β は、ともに実数である。
また、sin 2α ＝ sin 2βのとき、① は重解をもつ。
よって、D ≧ 0 だから、
答えは m² ＋ 4n ≧ 0 になる。
(３) の 別解
① の判別式を D とすると、D ＝ m² ＋ 4n である。
m² ＋ 4n ＝ (－sin 2α－sin 2β)² ＋ 4 (－sin 2α sin 2β) [ ∵ ② , ③ より ]
＝ sin² 2α＋ 2 sin 2α sin 2β＋ sin² 2β－ 4 sin 2α sin 2β
＝ sin² 2α－ 2 sin 2α sin 2β＋ sin² 2β
＝ ( sin 2α－sin 2β)² ≧ 0 [ ∵ sin 2α－sin 2β は 実数 だから ]
( 等号成立は、sin 2α ＝ sin 2βのとき )
よって、m² ＋ 4n ≧ 0 が成り立つ。
D ≧ 0 だから、x の方程式 ① は、実数解をもつ。
以上より、
答えは m² ＋ 4n ≧ 0 になる。
この問題の条件および構造
x の２次方程式があり、その解は実数であるが、必ずしも 異なる２つの実数 ではない。
(１) 解と係数の関係 と 積和の公式 を使って解く。
(２) 解と係数の関係 と 和積の公式 を使って解く。
(３) 解の種類 と 解の数 を判断した上で、判別式 を利用して解くか。
あるいは、
判別式を使い、不等式 ( 実数の性質 ： (実数)² ≧ 0 ) を利用して解く。
三角関数において、
加法定理 から 積和の公式 を導き、
積和の公式 から 和積の公式 を導けるように。