⑲ 『 二等辺三角形 』

　　　　　　⑲ 『 二等辺三角形 』

　　○　次の[　　　　] に適切な語句・式などを入れてください。

　　命題 「  二等辺三角形 は ２つの (底) 角が等しい三角形である。」 の 逆、
　　「 ２つの角が等しい三角形 は 二等辺三角形 である。」 の真偽を判定するために証明します。

　　　証明する前に

　　逆の [ 仮定 ]　は　「 ２つの角が等しい三角形がある。」　であり、
　　　　　 [ 結論 ]　は　「 その三角形は、二等辺三角形である。」　である。

　　まず、（証明のための）仮定を用意します。
　　　∠A B C ＝ ∠A C B の三角形A B C をかきます。
　　すると、
　　　結論 は AB ＝ AC　です。

　　よって、
　　AB と AC を それぞれ１辺とする２つの三角形 が　合同　であることが必要となる。

　　前問 と同様に、テクニカルな方法で　２つの三角形　をつくりましょう。

　　　三角形A B C の ２つの辺 AB と AC を それぞれ含む２つの三角形をつくるわけですから。
　　　頂点A に注目します。頂点A から その対辺BC に直線を引けば、
　　　AB と AC を　それぞれ含む２つの三角形　ができます。
　　さらに、
　　　このできた２つの三角形が　[ 合同 ]　でなければならないから、
　　　直線の引き方に　もうひと工夫　必要です。
　　　その工夫は、∠C A B の [ 二等分線 ] です。

　　頂点から補助線をひく。
　　その補助線は、[ 角の二等分線 ] である。

　この証明は、三角形の合同証明のところで
　｛ 辺が等しい という主張 ｝ として使えるものが [ １ ] つしかないことに注意すべし。

　　　　　　　　　（ 証 明 ）
　　　　　　　　　　∠A B C ＝ ∠A C B の三角形A B C において、
　　　　　　　　　　∠C A B の二等分線 と 辺BC との交点を M とする。

　　　　　　　　　　　　△A B M と △A C M について
　　　根拠　　　　　　　共通の辺だから、
　　　主張　　　　　　　[ AM ＝ AM ]　・ ・ ・ ①

　　　根拠　　　　　　　∠C A B の [ 二等分線AM ] より、
　　　主張　　　　　　　[ ∠B A M ＝ ∠C A M ]　・ ・ ・ ②
　
　　　根拠　　　　　　　　[ 仮定 ] より、
　　　　　　　　　　　　　　　　∠A B C ＝ ∠A C B　・ ・ ・ ③
　　　　　　　　　　　　　　[ 三角形の内角の和 ] は 180°だから、
　　　　　　　　　　　　　　　　∠B M A ＝ 180°－ [ ∠A B C ] － [ ∠B A M ]　・ ・ ・ ④
　　　　　　　　　　　　　　　　∠C M A ＝ 180°－ [ ∠A C B ] － [ ∠C A M ]　・ ・ ・ ⑤
　　　　　　　　　　　　　　②, ③, ④, ⑤　より、
　　　主張　　　　　　　[ ∠B M A ＝ ∠C M A ]　・ ・ ・ ⑥

　　　　　　　　　　　　①, ②,  ⑥　より、
　　合同条件　　　　　[ １辺とその両端の角がそれぞれ等しい ] から、
　　　　　　　　　　　　　△A B M ≡ △A C M

　　　　　　　　　　　　合同な図形の対応する辺は等しいから、
　　　　　　　　　　　　[ AB ＝ AC ] である。
　　　　　　　　　　　　よって、△A B C は [ 二等辺三角形 ] である。
　　　　　　　　　　以上より、
　　　　　　　　　　　２つの 角が等しい三角形 は、二等辺三角形である。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ 証 明 おわり ）
　　この証明により、
　　逆の「 ２つの角が等しい三角形 は 二等辺三角形 である。」 が [ 真 ] であると判定できる。


ここまでで、二等辺三角形 について　わかったこと。

『 ２辺の等しい三角形 』　（定義より）
『 ２つの (底)角が等しい三角形 』 ( 『二等辺三角形』 と 同値　∵　この逆 と もとの命題 の ２つの証明 より )

さらに、
二等辺三角形について　もう２つ　把握しましょう。


○　次の[　　　　] に適切な語句・式などを入れてください。

(1)　命題　「 二等辺三角形の頂角の二等分線 は 底辺を 垂直に 二等分する。」 の真偽を判定するために証明します。

　　　証明する前に

　　この命題の [ 仮定 ]　は　「 二等辺三角形があり、その頂角の[　　　　　　　] がある。」　であり、
　　　　　　　  　　[　　　　]　は　「 その二等分線は、底辺を[　　　] に二等分する。」　である。

　　　　　　　　　（証明）
　　　　　　　　　AB ＝ AC の二等辺三角形A B C において、
　　　　　　　　　頂角A の二等分線 と 底辺BCの交点を M とする。

　　　　　　　　　[　　　　　　　] と △A C M について
　根拠　　　　　　仮定より、
　主張　　　　　　[　　　　　　　　]　・・・ ①

　根拠　　　　　　[　　　　　　　　　　　　　　　　　] より、
　主張　　　　　　[　　　　　　　　　　　　　　　]　・・・ ②

　根拠　　　　　　共通の辺だから、
　主張　　　　　　[　　　　　　　　]　・・・ ③

　　　　　　　　　①,②,③ より、
合同条件　　　[　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　] から、
　　　　　　　　　　△A B M ≡ △A C M
　　　　　　　　　合同な図形の対応する[　　　] や [　　　] は等しいので、
　　　　　　　　　　　　　 BM ＝ CM　・・・ ④
　　　　　　　　　　∠A M B ＝ ∠A M C　・・・ ⑤
　　　　　　　　　④ より、
　　　　　　　　　　点M は 辺BCの[　　　　] である。
　　　　　　　　　⑤ と ∠A M B ＋ ∠A M C ＝ 180°[ ∵　[　　　　　　] は 180°だから ]　より、
　　　　　　　　　　∠A M B ＝ ∠A M C ＝ [　　　　]　だから、
　　　　　　　　　　AM ⊥ BC である。
　　　　　　　　　以上より、
　　　　　　　　　頂角C A B の二等分線AM は、底辺BCを 垂直に 二等分する。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（証明おわり）
この証明により、
命題　「 二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺の垂直二等分線である。」 は [　　　] である。


(2)　命題　「 二等辺三角形の中線 (頂点と底辺の中点を結ぶ線分) は 底辺に 垂直である。」 の真偽を判定する
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ために証明します。
　　　証明する前に

　　この命題の [　　　　]　は　「 二等辺三角形があり、頂点と底辺の[　　　　]を結ぶ中線がある。」　であり、
　　　　　　　  　　[ 結論 ]　は　「 その中線は、底辺に[　　　　]である。」　である。

　　注意すべし。
　　三角形の合同証明のところで、使える { 角についての情報 } は全くない。

　　　　　　　　　（証明）
　　　　　　　　　AB ＝ AC の二等辺三角形A B C において、
　　　　　　　　　点A と 辺BCの中点M を線分で結ぶ。

　　　　　　　　　[　　　　　　　　　　　　　　] について
　根拠　　　　　　[　　　　] より、
　主張　　　　　　[　　　　　　　　]　・・・ ①

　根拠　　　　　　[　　　　　　　] だから、
　主張　　　　　　　AM ＝ AM　・・・ ②

　根拠　　　　　　辺BC の[　　　　] は M だから、
　主張　　　　　　[　　　　　　　　]　・・・ ③

　　　　　　　　　①,②,③ より、
合同条件　　　[　　　　　　　　　　　　　　　　] から、
　　　　　　　　　　△A B M ≡ △A C M
　　　　　　　　　合同な図形の対応する [　　　] は等しいので、
　　　　　　　　　　∠A M B ＝ ∠A M C　・・・ ④
　　　　　　　　　④ と ∠A M B ＋ ∠A M C ＝ 180°[ ∵　一直線 は 180°だから ]　より、
　　　　　　　　　　∠A M B ＝ ∠A M C ＝ [　　　　]　だから、
　　　　　　　　　　AM ⊥ BC である。
　　　　　　　　　　　　　　　　　（証明おわり）
この証明により、
命題　「 二等辺三角形の中線 (頂点と底辺の中点を結ぶ線分) は 底辺に 垂直である。」 は 真 である。


次回の　⑳ 『 角の二等分線の作図 』　に続きます。