⑳ 『 角の二等分線の作図 』
○ 次の[ ] に適切な語句・式などを入れてください。
(1) 命題 「 二等辺三角形の頂角の二等分線 は 底辺を 垂直に 二等分する。」 の真偽を判定するために証明します。
証明する前に
この命題の [ 仮定 ] は 「 二等辺三角形があり、その頂角の[二等分線] がある。」 であり、
[ 結論 ] は 「 その二等分線は、底辺を[垂直] に二等分する。」 である。
（証明）
AB ＝ AC の二等辺三角形A B C において、
頂角A の二等分線 と 底辺BCの交点を M とする。
[ △A B M ] と △A C M について
根拠 仮定より、
主張 [ AB ＝ AC ] ・・・ ①
根拠 [ ∠C A B ( 頂角A ) の二等分線AM ] より、
主張 [ ∠B A M ＝ ∠C A M ] ・・・ ②
根拠 共通の辺だから、
主張 [ AM ＝ AM ] ・・・ ③
①,②,③ より、
合同条件 [ ２辺とその間の角がそれぞれ等しい ] から、
△A B M ≡ △A C M
合同な図形の対応する[ 辺 ] や [ 角 ] は等しいので、
BM ＝ CM ・・・ ④
∠A M B ＝ ∠A M C ・・・ ⑤
④ より、
点M は 辺BCの[ 中点 ] である。
⑤ と ∠A M B ＋ ∠A M C ＝ 180°[ ∵ [ 一直線 ] は 180°だから ] より、
∠A M B ＝ ∠A M C ＝ [ 90°] だから、
AM ⊥ BC である。
以上より、
頂角C A B の二等分線AM は、底辺BCを 垂直に 二等分する。
（証明おわり）
この証明により、
命題 「 二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺の垂直二等分線である。」 は [ 真 ] である。
(2) 命題 「 二等辺三角形の中線 (頂点と底辺の中点を結ぶ線分) は 底辺に 垂直である。」 の真偽を判定する
ために証明します。
証明する前に
この命題の [ 仮定 ] は 「 二等辺三角形があり、頂点と底辺の[ 中点 ]を結ぶ中線がある。」 であり、
[ 結論 ] は 「 その中線は、底辺に[ 垂直 ]である。」 である。
（証明）
AB ＝ AC の二等辺三角形A B C において、
点A と 辺BCの中点M を線分で結ぶ。
[ △A B M と △A C M ] について
根拠 [ 仮定 ] より、
主張 [ AB ＝ AC ] ・・・ ①
根拠 [ 共通の辺 ] だから、
主張 AM ＝ AM ・・・ ②
根拠 辺BC の[ 中点 ] は M だから、
主張 [ BM ＝ CM ] ・・・ ③
①,②,③ より、
合同条件 [ ３辺がそれぞれ等しい ] から、
△A B M ≡ △A C M
合同な図形の対応する [ 角 ] は等しいので、
∠A M B ＝ ∠A M C ・・・ ④
④ と ∠A M B ＋ ∠A M C ＝ 180°[ ∵ 一直線 は 180°だから ] より、
∠A M B ＝ ∠A M C ＝ [ 90°] だから、
AM ⊥ BC である。
（証明おわり）
この証明により、
命題 「 二等辺三角形の中線 (頂点と底辺の中点を結ぶ線分) は 底辺に 垂直である。」 は 真 である。
二等辺三角形について わかったこと。
１つ ２辺の等しい三角形は、二等辺三角形である。（定義より）
１つ ２つの角が等しい三角形は、二等辺三角形である、（証明より）
１つ 二等辺三角形は、２つの(底)角が等しい三角形である。（証明より）
１つ 二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を 垂直に 二等分線する。（証明より）
１つ 二等辺三角形の中線 (頂点と底辺の中点を結ぶ) は、底辺に 垂直である。（証明より）
【 角の二等分線の作図 】
端点が O である半直線 OX を 水平方向にひき、
端点が O である半直線 OY を 右上がりの方向にひく。
∠Y O X の二等分線 を 作図しましょう。
コンパスを３回、定規を１回使えば、ハイ できあがり。
Ⅰ 点O に コンパスの針をさし、ある半径で弧を描き、半直線OX , OY との交点A , B をとる。
Ⅱ 点A に針をさし、同じ半径で 点A の右上 に弧を描く。
Ⅲ 点B に針をさし、同じ半径で 点B の右 に弧を描き、Ⅱで描いた弧との交点を C とする。
Ⅳ 点O と 点C を 定規を使って 結ぶと、ハイ ∠Y O X の二等分線 OC のできあがり。
○ 上の作図で、なぜ角の二等分線が作図できるのか証明してください。
ヒント ： △O A C と △O B C について考える。
図形 ㉑ 『 直角三角形の合同 』 の掲載は 新年になります。
次回は 『 解の公式は導くもの ７ 』 を掲載します。