⑦ 『 やじり形 から 星形 へ 』
○ ∠B C A が 鈍角 (直角より大きい角) である △A B C がある。
辺B C を延長し、線分B C D をひく。
△C D E ができるように辺C A 上に点E をとる。（点E は 端点C, A とは一致しない）
次の [ ] に 適切な語句・式など を入れなさい。
△A B C の外角である [∠A C D ] は、[∠C A B ] ＋ ∠A B C である。
△C D E の外角である ∠A E D は、[∠A C D ] ＋ ∠C D E である。
よって、∠A E D は、[∠A B C ] ＋ [∠C D E ] ＋ ∠C A B である。
ゆえに、
四角形B D E A の頂点E の内角 ( 180°より大きい角 ) の [ 反対 ] にある角は、
他の３つの内角の和に等しい。
別の導き方
四角形A B C D がある。
頂点C の内角は、180°より大きい角 である。
２頂点A , C を通る線分A C E をひく。
△A B C の外角である [∠E C B ] は、[∠C A B ＋ ∠A B C ] である。
△A C D の外角である [∠D C E ] は、[∠C D A ＋ ∠D A C ] である。
よって、頂点C の内角 ( 180°より大きい角 ) の反対の角は、∠E C B ＋ ∠D C E である。
∠E C B ＋ ∠D C E
＝ ∠C A B ＋ ∠A B C ＋ ∠C D A ＋ ∠D A C
＝ [∠D A B ] ＋ ∠A B C ＋ ∠C D A
四角形A B C D の頂点C の内角 ( 180°より大きい角 ) の反対の角は、他の３つの内角の和に等しい。
この１つの内角が [ 180 ] °より [大きい]角 である四角形は、
「 やじり （矢の先のとがった部分）」 の形に似ているので、
「やじり 形のへこんだ部分の角の大きさは、とんがった３つの部分の角の和に等しい。」
と認識できる。
いつでも、「 やじり 形 」 の角の関係 を 「 三角形の外角の性質 」 を使って導けるようになること。
上の
へこんだ部分の角をなす２辺のうち少なくとも１辺を [ 延長 ] した形で、
２つの三角形に、「 三角形の外角の性質 」 を 使う方法や、
へこんだ部分の [ 頂点 ] と その向かいの [ 頂点 ] を直線で結び、
三角形を ２つ 作って、「 三角形の外角の性質 」 を ２ 回 使う方法により、
この 「 やじり 形 」 は、中３数学の 『 円周角の定理 』 を理解するのにも役立ちます。
【 やじり形＋三角形 】
やじり形 の 内部 に 三角形 があり、
その三角形は、やじり形 の へこんだ角の対頂角 を 内角の１つ としてもつ。
この図形は、「 ひとふでがき 」 でかくことができる。
○ 頂点C のところが へこんだやじり形A B C D 。
辺B C を延長し、線分B C E をひき 、
辺D C を延長し、線分D C F をひいて ( 点E と 点F はやじり形の内部 ) 、
点E, F を結ぶと
△C E F ができる。
∠D A B ＋∠A B C ＋∠C E F ＋∠E F C ＋∠C D A を求めよ。
次の [ ] に 適切な語句・式など を入れなさい。
四角形A B C D で 三角形の外角の性質を２ 回使うと ( やじり形の特徴 )、
[ ＋ ＋ ] ＝ ∠D C B
対頂角は等しいから、
∠D C B ＝[ ]
∠D A B ＋∠A B C ＋∠C E F ＋∠E F C ＋∠C D A
＝ [ ] ＋ ∠C E F ＋ ∠E F C
＝ ∠F C E ＋ ∠C E F ＋ ∠E F C
＝ 180° [ ∵ 三角形の [ ] は 180°]
【 そして 星形 】
○ 頂点C のところが へこんだやじり形A B C D 。
辺B C を延長し、線分B C E をひき、
辺D C を延長し、線分D C F をひいて ( 点E と 点F はやじり形の外部 ) 、
点E, F を結ぶと
△C E F ができる。
このとき、点A から 点B, E, F, D を経て 点A にもどるように 「ひとふでがき」で 星形 ができる。
星形の５つのとんがった部分の角の和、
∠D A B ＋∠A B C ＋∠C E F ＋∠E F C ＋∠C D A を求めよ。
次回の ⑧ 『 三角形をいっぱい覚える 』 に続きます。