③ 『 平行ならば 等しい なぜ？ 』
○ 同一直線上にない３点A, B, C がある。
３直線 AB, BC, CA がひける。( ただし直線 BC を水平方向とする )
点B の周りの４つの角 を 右上から反時計回りに ∠a, ∠b, ∠c, ∠d とし、
点C の周りの４つの角 を 右上から反時計回りに ∠e, ∠f, ∠g, ∠h とする。
次の [１] ～ [10] に 適切な語句・式など を入れなさい。
∠a の同位角 は [ ∠e ₁] であり、∠b の同位角 は [ ∠f ₂] であり、
∠c の同位角 は [ ∠g ₃] であり、∠d は [ ∠h ₄] の同位角 である。
∠a の錯角 は [ ∠g ₅] であり、∠d は [ ∠f ₆] の錯角 である。
以上より
２直線 に １直線 が交わるとき、同位角と錯角ができ
同位角の位置関係は、２直線の 内側 と [ 外 ₇] 側で かつ １直線の[ 同じ ₈] 側 であり、
錯角の位置関係は、２直線の[ 内 ₉] 側のみで かつ １直線の[ 反対 ₁₀] 側 である。
○ 水平方向に平行な２直線 をひき、
１直線 をそれらに交わるようにひく。
交点を上から A, B とする。
点A の周りの４つの角 を 右上から反時計回りに ∠a, ∠b, ∠c, ∠d とし、
点B の周りの４つの角 を 右上から反時計回りに ∠e, ∠f, ∠g, ∠h とする。
次の [ ] に 適切な語句・式など を入れなさい。
２直線が平行ならば、同位角は等しい から
[ ] ＝ ∠e
∠b ＝ [ ]
∠c ＝ [ ]
∠d ＝ [ ]
２直線が平行ならば、錯角は等しい から
∠c ＝ [ ]
[ ] ＝ ∠f
では なぜ 平行ならば、同位角は等しく 錯角は等しいのか？
まず、「 なぜ 平行ならば、同位角は等しいのか？」 について考えます。
x y 座標平面を使いましょう。 ( １次関数の知識を使って考えます。 )
x 軸 と y 軸 をひき、原点O をとる。
直線 y ＝ x と x ＝ 1 をかく。
x 軸 と x ＝ 1 の交点を H とすると その座標 は ( 1 , 0 ) であり、
直線 y ＝ x と x ＝ 1 の交点を A とすると その座標 は ( 1 , 1 ) である。
OH ⊥ HA であり、OH ＝ 1－0 ＝ 1, HA ＝ 1－0 ＝ 1 より OH ： HA ＝ 1 ： 1 である。
よって、△ A O H は 45°45°90°の直角二等辺三角形であり、∠AOHは 45°である。
傾きが 1 の直線 y ＝ x と x 軸 のなす角の角度は、45°である。
直線 y ＝ 2 x と x ＝ 1 の交点を B とすると その座標 は ( 1 , 2 ) である。
OH ⊥ HB であり、OH ＝ 1, HB ＝ 2－0 ＝ 2 より OH ： HB ＝ 1 ： 2 である。
よって、△BOH は 直角三角形であり、∠BOH は 45°より大きい。
傾きが 2 の直線 y ＝ 2 x と x 軸 のなす角の角度は、45°より大きい。
直線 y ＝ 1/2 x と x ＝ 1 の交点を C とすると その座標 は ( 1 , 1/2 ) である。
OH ⊥ HC であり、OH ＝ 1, HC ＝ 1/2－0 ＝ 1/2 より OH ： HC ＝ 1 ： 1/2 ＝ 2 ： 1 である。
よって、△COH は 直角三角形であり、∠COH は 45°より小さい。
傾きが 1/2 の直線 y ＝ 1/2 x と x 軸 のなす角の角度は、45°より小さい。
以上より
原点O を通る右上がりの直線の傾きを決めると この直線 と x ＝ 1 との交点が決まり、
その交点をP とし H ( 1 , 0 ) とすると ∠O H P ＝ 90°の 直角三角形 P O H ができる。
このとき、底辺OH の長さ と 高さHP の長さは決まっている。
よって、∠P O H の大きさが決まる。
なぜなら、「 ２辺 と その間の角をきめると、三角形は １ とおりにきまる 」 から。
結局 原点O を通る直線の傾きを決めると この直線 と x 軸 のなす角の角度が決まる。
そして これは １対１ の対応で決まる。
少し一般化
右上がりの直線の傾きを決めると、１対１ の対応で その直線 と x 軸 のなす角の大きさが決まる。
さらに一般化
直線の傾き（変化の割合）を決めると、１対１ の対応で その直線 と x 軸 のなす角の大きさが決まる。
ゆえに
傾きが等しい ２直線 と x 軸 のなす それぞれの角 は 等しい。
確認のため
直線 y ＝ x－1 ( 傾きが 1 で、点H ( 1 , 0 ) を通る直線 ) と x ＝ 2 をかく。
x 軸 と x ＝ 2 の交点を I とすると その座標 は ( 2 , 0 ) であり、
直線 y ＝ x－1 と x ＝ 2 の交点を D とすると その座標 は ( 2 , 1 ) である。
H I ⊥ I D であり、H I ＝ 2－1 ＝ 1, I D ＝ 1－0 ＝ 1 より H I ： I D ＝ 1 ： 1 である。
よって、△ D H I は 45°45°90°の直角二等辺三角形である。
ゆえに、∠D H I は 45°である。
傾きが 1 の直線 y ＝ x－1 と x 軸 のなす角の角度は、45°である。
直線 y ＝ 2 x－2 と x ＝ 2 の交点を E とすると その座標 は ( 2 , 2 ) である。
H I ⊥ I E であり、H I ＝ 1, I E ＝ 2－0 ＝ 2 より H I ： I E ＝ 1 ： 2 である。
よって、△EH I は 直角三角形であり、∠EH I は 45°より大きい。
傾きが 2 の直線 y ＝ 2 x－2 と x 軸 のなす角の角度は、45°より大きい。
直線 y ＝ 1/2 x－1/2 と x ＝ 2 の交点を F とすると その座標 は ( 2 , 1/2 ) である。
H I ⊥ I F であり、H I ＝ 1, I F ＝ 1/2－0 ＝ 1/2 より H I ： I F ＝ 1 ： 1/2 ＝ 2 ： 1 である。
よって、△FH I は 直角三角形であり、∠FH I は 45°より小さい。
傾きが 1/2 の直線 y ＝ 1/2 x－1/2 と x 軸 のなす角の角度は、45°より小さい。
「 ２辺 と その間の角をきめると、三角形は １ とおりにきまる 」 から
△ A O H と △ D H I は 形も大きさも同じで、対応する角は等しいから ∠AOH＝∠D H I ( ＝45°)
△ B O H と △ E H I は 形も大きさも同じで、対応する角は等しいから ∠BOH ＝∠EH I
△ C O H と △ F H I は 形も大きさも同じで、対応する角は等しいから ∠COH ＝∠FH I
傾きが等しい２直線 と x 軸のなすそれぞれの角は等しい。
その等しい２つの角 は ２直線の 内側 と 外側 で、x 軸の[ ] 側だから [ ] である。
傾きが等しい直線は、[ ] な直線である。
ゆえに
２直線が平行ならば、同位角は等しい。
次に、「 なぜ 平行ならば、錯角は等しいのか？」 について考えます。
{ 平行線の 内側 にある１つの角 } は { その同位角の対頂角 } の [ ] である。
[ ] ならば 同位角は等しい し、
[ ] は等しい ので、
「 平行ならば、錯角は等しい 」 が成り立つ。
逆に
直線 と x 軸 のなす角の大きさ を決めると、１対１ の対応で 直線の傾き（変化の割合）が決まる。
だから、
２直線 と x 軸 のなすそれぞれの角が等しいと、２直線の傾きは等しい。
ゆえに、
「 同位角が等しい ならば、２直線は平行である 」
同位角が等しい と、{ 同位角の対頂角 } は [ ] であるから、錯角も等しい
よって、「 錯角が等しい ならば、２直線は平行である 」
・ ２直線が平行ならば、同位角は等しく、錯角は等しい。
・ 同位角が等しい あるいは 錯角が等しいならば、２直線は平行である。
２直線が平行であることは、同位角が等しい、あるいは 錯角が等しいための[ ] 条件である。
「平行であること」 と 「同位角が等しいこと、錯角が等しいこと」 とは 同値 である。
次回の ④ 『 三角形の内角 』 に続きます。