『 １次関数 ㉚ 』 動点
‘ 距離は 速さ と 時間 の かけ算 ででる ’
○ x y 座標平面に、３点 O ( 0 , 0 ) , A ( 12 , 0 ) , B ( 9 , 6 ) がある。
動点 P は x 軸上を 点O から 点A まで 一定の速さ で移動する。
動点 P は 0 秒後 点O にあり、2 秒後 点 ( 4 , 0 ) にある。
次の１) ～ ３) に答えよ。
１) 次の [１] ～ [８] に 適切なものを 下の (あ) ～ (け) から 選び、
[９] ～ [16] に 適切な語句・式などを 入れなさい。
[１] く [２] か [３] い [４] い [５] い [６] あ [７] い [８] い
動点 P は 1 秒後 点 [ ( 2 , 0 ) ₁ ] にあり、 [ 6 ₂] 秒後 A ( 12 , 0 ) にある。
それは、毎秒 x が [ 2 ₃] 増加するから つまり 一定の速さが [ 2 ₄] 増加 / 秒 だからである。
[ 2 ₅] 増加 / 秒 × [ 1 ₆] 秒 より x が [ 2 ₇] 増加して、 x 座標が 0 から [ 2 ₈] になるから。
x 座標が 0 から [ 12 ₉] と x が [ 12 ₁₀] 増加するのに、
[ 12 ₁₁] 増加 ÷ [ 2 ₁₂] 増加 / 秒 より [ 6 ₁₃] 秒かかるから。
一定の速さ 2 増加 / 秒 は 時間の増加量 2－0 と x の増加量 [ 4－0 ₁₄] から
[ 時間の増加量 ₁₅] に対する [ x の増加量 ₁₆] の割合で求められる。
２) 動点P の 4 秒後の位置を 点C とするとき、次の面積比 △BOC ： △BCA ： △BOA を求めよ。
一定の速さ 2 増加 / 秒 を使って
2 増加 / 秒 × 4 秒 より x が 8 増加して、
x 座標が 0 から 8 になるから 点C は ( 8 , 0 ) になる
点B から x 軸に垂線をひき その足を H とすると ３つの三角形の高さは共通の BH になる
よって
それぞれの底辺 は 同一直線上にあり、高さが同じだから 面積比 は 底辺の長さの比 に等しい。
△BOC ： △BCA ： △BOA ＝ OC ： CA ： OA
＝ (8－0) ： (12－8) ： (12－0) ＝ 8 ： 4 ： 12 ＝ 2 ： 1 ： 3
（答え） △BOC ： △BCA ： △BOA ＝ 2 ： 1 ： 3
３) t 秒後、△BPA の面積 を S とするとき、S を t を使って表せ。
一定の速さ 2 増加 / 秒 を使って
2 増加 / 秒 × t 秒 より x が 2 t 増加して、
x 座標が 0 から 2 t になるから 点P ( 2 t , 0 ) になる
よって PA＝ 12－2 t
点B から x 軸に垂線をひくと その足 H は ( 9 , 0 ) になり BH ＝ 6－0 ＝ 6
PA ⊥ BH だから
△BPA の面積 は (12－2 t) × 6 × 1/2 より 36－6 t である
また 動点 P は x 軸上を 点O から 点A まで 一定の速さ 2 増加 / 秒 で移動するので
12 / 2 より 6 秒
よって 0 ≦ t ≦ 6 である ( t の範囲を求めた )
（答え） S ＝－6 t ＋ 36 ( 0 ≦ t ≦ 6 )
・ AB ＝ 10 cm, BC ＝ 8 cm, CA ＝ 6 cm の 直角三角形A B C がある。
動点P は一定の速さ 2 cm/秒 で 辺BC上を 点B から 点C まで 移動する。
x 秒後の△P C A の面積を y cm² とするとき、y を x で表す。
BP ＝ 2 x cm だから ( 距離は 速さ と 時間 の かけ算 ででる )
PC ＝(8－2 x) cm になる
CA ＝ 6 cm
CA ⊥ PC なので
△P C A の面積 は 6 × (8－2 x) × 1/2 より 24－6 x である
また動点P は 一定の速さ 2 cm/秒 で点B から 点C まで 移動するので
8 / 2 より 4 秒
よって 0 ≦ x ≦ 4 である ( x の範囲を求めた )
（答え） y ＝－6 x ＋ 24 ( 0 ≦ x ≦ 4 )
○ AB ＝ 10 cm, BC ＝ 8 cm, CA ＝ 6 cm の 直角三角形A B C がある。
動点P は一定の速さ 1 cm/秒 で 点C から 辺CB と辺BA を通って 点A まで 移動する。
x 秒後の△P C A の面積を y cm² とするとき、y を x で表せ。
次の [１] ～ [15] に 適切なものを 下の (ア) ～ (シ) から 選びなさい。
(ア) 8 / 1 (イ) x (ウ) 1 × x (エ) 6 × x × 1/2 (オ) 10 (カ) 18－x
(キ) (18－x) / 10 (ク) x－8 (ケ) 10 / 1 (コ) 高さ (サ) 6×8×1/2 (シ) 同一直線上
一定の速さ 1 cm/秒 で x 秒 移動すると 移動距離は [ １ ] より x cm である
辺CB上に動点P があるとき、 CP＝[ ２ ] cm になる
CA ⊥ PC なので
△P C A の面積 は [ ３ ] より 3 x cm² である
また動点P は 一定の速さ 1 cm/秒 で点C から 点B まで 移動するので
[ ４ ] より 8 秒
よって 0 ≦ x ≦ 8 である ( x の範囲を求めた )
y ＝ 3 x ( 0 ≦ x ≦ 8 )
辺BA上に動点P があるとき、
CBP＝[ ５ ] cm より AP＝[ ６ ] cm と PB＝[ ７ ] cm になる
△CAP と △CAB は 底辺AP と 底辺AB が[ ８ ] にあり、[ ９ ] が同じだから
その面積比 は 底辺の長さの比 に等しい
△CAP ： △CAB ＝ AP ： AB ＝ ([ 10 ]) ： [ 11 ]
△CAPの面積 の △CABの面積に対する割合は [ 12 ] である
△CABの面積は [ 13 ] より 24 cm² だから
△CAPの面積は 24 × [ 14 ] より －12/5 x ＋ 216/5
また動点P は 一定の速さ 1 cm/秒 で点B から 点A まで 移動するので
[ 15 ] より 10 秒
点B まで 移動するのに既に 8 秒かかっているので
8 ≦ x ≦ 18 である ( x の範囲を求めた )
y ＝－12/5 x ＋ 216/5 ( 8 ≦ x ≦ 18 )
よって （答え） y ＝ 3 x ( 0 ≦ x ≦ 8 )
y ＝－12/5 x ＋ 216/5 ( 8 ≦ x ≦ 18 )
○ AB ＝ 9 cm, BC ＝ 24 cm の 長方形A B C D がある。
動点P は一定の速さ 毎秒 1 cm で
点D から 辺DA と 辺AB そして 辺BC を通って 点C まで 移動する。
x 秒後の△P C D の面積を y cm² とするとき、y を x で表せ。
‘ 距離は 分子にくる（割られる数である） ’
次回 『 １次関数 ㉛ 』 距離は出発点からはかること につづきます。