『 １次関数 ㉙ 』 高さ が 同じ 等しい 共通
○ ３点O ( 0 , 0 ), A ( a , 0 ), B ( a , b ) がある。（ ただし、a ≠ 0 , b ≠ 0 ）
これらの３点から成る三角形 の面積を求めよ。
a , b について場合分けします。
ⅰ) a ＞ 0 , b ＞ 0 のとき、点A は x 軸の正の領域 にあり、点B は 第 １ 象限 にある。
OA ⊥ AB , OA ＝ a－0 , AB ＝ b－0 だから
求める三角形の面積は a × b × 1/2 より 1/2 a b である。
ⅱ) a ＞ 0 , b ＜ 0 のとき、点A は x 軸の正の領域 にあり、点B は 第 ４ 象限 にある。
OA ⊥ AB , OA ＝ a－0 , AB ＝ 0－b だから
求める三角形の面積は a ×(－b ) × 1/2 より －1/2 a b である。
ⅲ) a ＜ 0 , b ＞ 0 のとき、点A は x 軸の負の領域 にあり、点B は 第 ２ 象限 にある。
OA ⊥ AB , OA ＝ 0－a , AB ＝ b－0 だから
求める三角形の面積は (－a ) × b × 1/2 より －1/2 a b である。
ⅳ) a ＜ 0 , b ＜ 0 のとき、点A は x 軸の負の領域 にあり、点B は 第 ３ 象限 にある。
OA ⊥ AB , OA ＝ 0－a , AB ＝ 0－b だから
求める三角形の面積は (－a ) ×(－b ) × 1/2 より 1/2 a b である。
ⅰ) ～ ⅳ) より、 (答え) a ＞ 0 , b ＞ 0 または a ＜ 0 , b ＜ 0 のとき、 1/2 a b である。
a ＞ 0 , b ＜ 0 または a ＜ 0 , b ＞ 0 のとき、－1/2 a b である。
確認
３点O ( 0 , 0 ), A ( a , 0 ), B ( a , b ) より
これらの３点から成る三角形 の面積は 1/2 | a b － 0 ・a | ＝ 1/2 | a b |
a , b について場合分けします。
ⅰ) a ＞ 0 , b ＞ 0 のとき、a b ＞ 0 だから | a b | ＝ a b となり、
求める三角形の面積は 1/2 a b である。
ⅱ) a ＞ 0 , b ＜ 0 のとき、a b ＜ 0 だから | a b | ＝－a b となり、
求める三角形の面積は －1/2 a b である。
ⅲ) a ＜ 0 , b ＞ 0 のとき、a b ＜ 0 だから | a b | ＝－a b となり、
求める三角形の面積は －1/2 a b である。
ⅳ) a ＜ 0 , b ＜ 0 のとき、a b ＞ 0 だから | a b | ＝ a b となり、
求める三角形の面積は 1/2 a b である。
○ y ＝ 2 x 上の 点A から x 軸に垂線をひき その足をB とする。
線分AB を一辺とする正方形ABCD をつくると、
点D は、y ＝－2/3 x ＋ 12 上の点になった。
このとき、点A の座標を求めよ。
点A の x 座標を t とおくと A ( t , 2 t ) となり、
点A から x 軸への垂線の足 B は ( t , 0 ) となる。すると AB ＝ 2 t － 0 ＝ 2 t である。
正方形 A B C D だから、
B ( t , 0 ) と AB ＝ BC ＝ 2 t より C ( 3 t , 0 ) となり、点D の x 座標 は 3 t になる。
点D は、y ＝－2/3 x ＋ 12 上にあるから、
x ＝ 3 t を y ＝－2/3 x ＋ 12 に代入して計算すると y ＝－2 t ＋ 12
よって D ( 3 t ,－2 t ＋ 12 ) になる。
AB ＝ CD だから、2 t ＝－2 t ＋ 12 これを解くと t ＝ 3 ( t の１次方程式 )
ゆえに、求める点A の座標は ( 3 , 6 ) である。
（答え） A ( 3 , 6 )
○ ４点O ( 0 , 0 ), A ( 5 , 0 ), B ( 4 , 4 ), C ( t , 0 ) がある。 ( ただし、0 ＜ t ＜ 5 )
△B O C と △B C A の面積比を求めよ。
△B O C の面積 の △B O A の面積 に対する割合を求めよ。
点B から x 軸 に垂線をひきその足をH とする。
辺OC と 辺CA は 同一直線 ( y＝0 ： x 軸 ) 上にあるので、
それらをそれぞれの底辺をとすると、線分BH は共通の高さになる。
よって、面積比 は 底辺の長さの比 である。
△B O C ： △B C A ＝ OC ： CA ＝( t－0 ) ： ( 5－t ) より
（答え） △B O C ： △B C A ＝ t ： ( 5－t ) ( ただし、0 ＜ t ＜ 5 )
同様に
△B O C ： △B O A ＝ OC ： OA ＝( t－0 ) ： ( 5－0 ) ＝ t ： 5 より
（答え） △B O C の面積 の △B O A の面積 に対する割合 は t / 5 である。
( ただし、0 ＜ t ＜ 5 )
○ ３点O ( 0 , 0 ), A ( t , 0 ), C ( s , 0 ) があり ( ただし、0 ＜ s ＜ t ) 、点B は 第 １ 象限 にある。
△B O C と △B C A の面積比を求めよ。
△B C A の面積 の △B O A の面積 に対する割合を求めよ。
点B から x 軸 に垂線をひきその足をH とする。
辺OC と 辺CA は 同一直線 ( y＝0 ： x 軸 ) 上にあるので、
それらをそれぞれの底辺をとすると、線分BH は共通の高さになる。
よって、面積比 は 底辺の長さの比 に等しい。
△B O C ： △B C A ＝ OC ： CA ＝( s－0 ) ： ( t－s ) より
（答え） △B O C ： △B C A ＝ s ： ( t－s ) ( ただし、0 ＜ s ＜ t )
同様に
△B C A ： △B O A ＝ CA ： OA ＝ ( t－s ) ： ( t－0 ) ＝ ( t－s ) ： t より
（答え） △B C A の面積 の △B O A の面積 に対する割合 は ( t－s ) / t である。
( ただし、0 ＜ s ＜ t )
底辺 が 同一直線上 にあり、高さ が 同じ (共通の) とき、
面積比 は 底辺の長さの比 ( 線分比 ) に 等しい (同じ)。
○ x y 座標平面に、３点 O ( 0 , 0 ) , A ( 12 , 0 ) , B ( 9 , 6 ) がある。
動点 P は x 軸上を 点O から 点A まで 一定の速さ で移動する。
動点 P は 0 秒後 点O にあり、2 秒後 点 ( 4 , 0 ) にある。
次の１) ～ ３) に答えよ。
１) 次の [１] ～ [８] に 適切なものを 下の (あ) ～ (け) から 選び、
[９] ～ [16] に 適切な語句・式などを 入れなさい。
(あ) 1 (い) 2 (う) 3 (え) 4 (お) 5 (か) 6 (き) ( 1 , 0 ) (く) ( 2 , 0 ) (け) ( 3 , 0 )
動点 P は 1 秒後 点 [ １ ] にあり、 [ ２ ] 秒後 A ( 12 , 0 ) にある。
それは、毎秒 x が [ ３ ] 増加するから つまり 一定の速さが [ ４ ] 増加 / 秒 だからである。
[ ５ ] 増加 / 秒 × [ ６ ] 秒 より x が [ ７ ] 増加して、x 座標が 0 から [ ８ ] になるから。
x 座標が 0 から [ ９ ] と x が [ 10 ] 増加するのに、
[ 11 ] 増加 ÷ [ 12 ] 増加 / 秒 より [ 13 ] 秒かかるから。
一定の速さ 2 増加 / 秒 は 時間の増加量 2－0 と x の増加量 [ 14 ] から
[ 15 ] に対する [ 16 ] の割合で求められる。
２) 動点P の 4 秒後の位置を 点C とするとき、次の面積比 △BOC ： △BCA ： △BOA を求めよ。
３) t 秒後、△BPA の面積 を S とするとき、S を t を使って表せ。
次回 『 １次関数 ㉚ 』 動点 につづきます。