『 １次関数 ㉖ 』 三角形の面積公式
‘ 一般に、多角形（三角形、四角形、・・・）を頂点で順に表記する場合、反時計回り ’
○ ３点 A ( 1 , 3 ), B ( 6 , 6 ), C ( 2 , 6 ) を頂点とする鈍角三角形ＡＢCの面積は。
点 B , C は y ＝ 6 上の点 つまり 辺BCは x 軸 に平行
点A から 直線BCに 垂線 をひき、その 垂線の足 を H とすると、H ( 1 , 6 ) である。
BC ⊥ AH だから
鈍角三角形ＡＢCの面積は
( 6－2 ) × ( 6－3 ) × (1/2) より 6 である。
○ ３点 Ｏ ( 0 , 0 ), Ａ ( a , b ), Ｂ ( c , d ) を頂点とする三角形ＯＡＢの面積は。
ただし、点Ａ , B は 第１象限の点であり、a ＝ c である。
点 A , B は x ＝ a ( ＝c ) 上の点 つまり 辺ABは y 軸 に平行
点O から 直線ABに 垂線 をひき、その 足 を H とすると、H ( a , 0 ) である。
AB ⊥ OH だから
三角形OＡＢの面積は
( d－b ) × ( a－0 ) × (1/2) より 1/2 a ( d－b ) である。
☆ 三角形の面積公式
「 ３点 ( 0 , 0 ), ( a , b ), ( c , d ) を頂点とする三角形の面積は、
1/2 | a d － b c | （ ２分の１ 絶対値 a d マイナス b c ） である。」
３点 Ｏ ( 0 , 0 ), Ａ ( a , b ), Ｂ ( c , d ) を頂点とする三角形ＯＡＢの面積は、
（ただし、点Ａ , Ｂ は 第１象限の点であり、左側の点は B である。）
1/2 ( a d－b c ) である。
３点 Ｏ ( 0 , 0 ), Ａ ( a , b ), Ｂ ( c , d ) を頂点とする三角形ＯＡＢの面積は、
（ただし、点Ａ , Ｂ は 第１象限の点であり、左側の点は A である。）
1/2 ( a d－b c ) である。
３点 Ｏ ( 0 , 0 ), Ａ ( a , b ), Ｂ ( c , d ) を頂点とする三角形ＯＡＢの面積は、
（ただし、点Ａ , B は 第１象限の点であり、a ＝ c である。）
1/2 a ( d－b ) である。
３点 Ｏ ( 0 , 0 ), Ａ ( c , d ), Ｂ ( a , b ) を頂点とする三角形ＯＡＢの面積は、
（ただし、点Ａ , Ｂ は 第１象限の点であり、左側の点は B である。）
1/2 ( b c－a d ) である。
３点 Ｏ ( 0 , 0 ), Ａ ( c , d ), Ｂ ( a , b ) を頂点とする三角形ＯＡＢの面積は、
（ただし、点Ａ , Ｂ は 第１象限の点であり、左側の点は A である。）
1/2 ( b c－a d ) である。
３点 Ｏ ( 0 , 0 ), Ａ ( c , d ), Ｂ ( a , b ) を頂点とする三角形ＯＡＢの面積は、
（ただし、点Ａ , B は 第１象限の点であり、c ＝ a である。）
1/2 c ( b－d ) である。
これら６つをまとめると、
「 ３点 ( 0 , 0 ), ( a , b ), ( c , d ) を頂点とする三角形の面積は、
1/2 | a d － b c | （ ２分の１ 絶対値 a d マイナス b c ） である。」
（ただし、２点( a , b ), ( c , d ) は 第１象限の点 である。）
実際
この公式は、２点( a , b ), ( c , d ) が それぞれどの象限 にあっても成り立つ。
しかし、
中学数学で そのことを示すにはその場合場合で１つの台形と２つの三角形を使って示すことになる。
すべての場合を１つの方法で示すには、高校数学を習うまで待たなければならない。
つまり、
「 ２点( a , b ), ( c , d ) が それぞれどの象限 にあっても 1/2 | a d － b c | は成り立つ。」 という一般化は、
高校数学まで待たねばならない。
よって、この公式は
１つの台形 と ２つの三角形を使って求めた答えの確認 に 使いましょう。
あるいは、前もって答えを確認 したいとき や 答えだけ を求めるときに。
状況に応じた使い方を。
もし
問題文に 「 公式を使わず、答えだけでなく求め方もかきなさい。」 と記述されていたら、
公式の導出過程（求め方）を理解せず、公式のみを覚えて答えをだしてきた者は、
へたをすると まったく解けず 全滅 しますから。
○ ３点 Ｏ ( 0 , 0 ), Ａ ( 6 , 9 ), Ｂ (－4 , 4 ) を頂点とする三角形ＯＡＢの面積は。
点A から x 軸に 垂線 をひき、その足 を H とし、
点B から x 軸に 垂線 をひき、その足 を I とすると、
H ( 6 , 0 ) , I (－4 , 0 ) である。
三角形ＯＡＢの面積は、
台形 I HAB の面積 から 三角形B I O と 三角形AOH の面積を ひく と求められる。
台形 I HAB の面積は、{ ( 4－0 )＋( 9－0 ) } × { 6－ (－4) } × (1/2) より 65 。
三角形B I O の面積は、{ 0－ (－4) } × ( 4－0 ) × (1/2) より 8 。
三角形AOH の面積は、( 6－0 ) × ( 9－0 ) × (1/2) より 27 。
求める三角形ＯＡＢの面積は、
65 － 8 － 27 より 30 である。
確認 1/2 | 6×4 － 9×(－4) |
＝ 1/2 | 24 ＋ 36 |
＝ 1/2 | 60 |
＝ 1/2 × 60 [ ∵ 60 ≧ 0 ]
＝ 30
○ ３点O ( 0 , 0 ), A ( 2 , 4 ), Q ( x , y ) がある。
これらの３点を頂点とする三角形の面積は、16 である。点Q はどこにどのように存在するか。
次の [ １ ] ～ [ 14 ] に 適切な語句・式など を入れてください。
点Q が、x 軸の 正の領域 にあるとき、その点をQ₁ ( t , 0 ) [ １ ] とする。
O ( 0 , 0 ), A ( 2 , 4 ), Q₁ ( t , 0 ) の３点を頂点とする三角形の面積は、
[ ２ ]
これが 16 だから、
[ ２ ] ＝ 16 これを解くと [ ３ ] となり、
[ ３ ] は [ １ ] を満たす
よって、Q₁ [ ４ ] になる。
小５で習った三角形の面積公式は、(底辺) × (高さ) × (1/2) だから、
三角形の面積を一定にするためには、
底辺 と [ ５ ] の長さを ともに 一定 にしなければならない。
（ あるいは、底辺と高さの長さの 積 が 一定。）
また、辺OAの長さは [ ６ ] だから この三角形の面積を一定に保つためには、
辺OA を含む直線 と 等距離にある [ ７ ] な直線上に 頂点Q がなければならない。
以上より
点Q は、Q₁ [ ４ ] を通り 直線OA と [ ７ ] な直線上に存在する。
この直線を求める
直線OA の 傾き (変化の割合) は [ ８ ] より 2 だから
１点と傾きの公式 ( y イコール 傾き 括弧 x マイナス x 座標 括弧閉じ プラス y 座標 )
を使って
[ ９ ] これを計算すると
[ 10 ] になる。
点Q が、x 軸の [ 11 ] の領域にあるとき、その点をQ₂ ( t , 0 ) t ＜ 0 として解くと、[ 12 ]
ゆえに 点Q は、Q₂ [ 13 ] を通り 直線OA と 平行 な直線上に存在する。
この直線は
[ 14 ] になる。
（答え） 点Q は、直線 y ＝ 2 x － 16 または y ＝ 2 x ＋ 16 上の任意の点として存在する。
○ ３点O ( 0 , 0 ), A ( a , 0 ), B ( a , b ) がある。（ ただし、a ≠ 0 , b ≠ 0 ）
△ O A B の面積を求めよ。
次回 『 １次関数 ㉗ 』 文字を扱えるように につづきます。