『 １次関数 ㉗ 』 文字を扱えるように
○ ３点O ( 0 , 0 ), A ( 2 , 4 ), Q ( x , y ) がある。
これらの３点を頂点とする三角形の面積は、16 である。点Q はどこにどのように存在するか。
次の [ １ ] ～ [ 14 ] に 適切な語句・式など を入れてください。
点Q が、x 軸の 正の領域 にあるとき、その点をQ₁ ( t , 0 ) [ t ＞ 0 ₁ ] とする。
O ( 0 , 0 ), A ( 2 , 4 ), Q₁ ( t , 0 ) の３点を頂点とする三角形の面積は、
[ ( t－0 ) × ( 4－0 ) × 1/2 ₂ ]
これが 16 だから、
[ ( t－0 ) × ( 4－0 ) × 1/2 ₂ ] ＝ 16 これを解くと [ t ＝ 8 ₃ ] となり、
[ t ＝ 8 ₃ ] は [ t ＞ 0 ₁ ] を満たす
よって、Q₁ [ ( 8 , 0 ) ₄ ] になる。
小５で習った三角形の面積公式は、(底辺) × (高さ) × (1/2) だから、
三角形の面積を一定にするためには、
底辺 と [ 高さ ₅ ] の長さを ともに 一定 にしなければならない。
（ あるいは、底辺と高さの長さの 積 が 一定。）
また、辺OAの長さは [ 一定 ₆ ] だから この三角形の面積を一定に保つためには、
辺OA を含む直線 と 等距離にある [ 平行 ₇ ] な直線上に 頂点Q がなければならない。
以上より
点Q は、Q₁ [ ( 8 , 0 ) ₄ ] を通り 直線OA と [ 平行 ₇ ] な直線上に存在する。
この直線を求める
直線OA の 傾き (変化の割合) は [ (4－0) / (2－0) ₈ ] より 2 だから
１点と傾きの公式 ( y イコール 傾き 括弧 x マイナス x 座標 括弧閉じ プラス y 座標 )
を使って
[ y ＝ 2 (x－8) ＋ 0 ₉ ] これを計算すると
[ y ＝ 2 x － 16 ₁₀ ] になる。
点Q が、x 軸の[ 負 ₁₁ ] の領域にあるとき、その点をQ₂ ( t , 0 ) t ＜ 0 として解くと、[ t＝－8 ₁₂ ]
ゆえに 点Q は、Q₂ [ (－8 , 0 ) ₁₃ ] を通り 直線OA と 平行 な直線上に存在する。
この直線は
[ y ＝ 2 x ＋ 16 ₁₄ ] になる。
（答え） 点Q は、直線 y ＝ 2 x － 16 または y ＝ 2 x ＋ 16 上の任意の点として存在する。
確認
３点O ( 0 , 0 ), A ( 2 , 4 ), Q ( x , y ) を頂点とする三角形の面積は、16 だから
1/2 | 2 y － 4 x | ＝ 16
1/2 | 2 | | y － 2 x | ＝ 16
| y － 2 x | ＝ 16
絶対値記号をはずす
y － 2 x ＜ 0 のとき、－( y － 2 x ) ＝ 16
y ＝ 2 x － 16
y － 2 x ≧ 0 のとき、 y － 2 x ＝ 16
y ＝ 2 x ＋ 16
○ ２点O ( 0 , 0 ), A ( 2 , 4 ) と 直線 y ＝－2 x ＋ 4 上に 点P がある。
これらの３点を頂点とする三角形の面積は、12 である。点P の座標を求めよ。
○ ３点O ( 0 , 0 ), A ( a , 0 ), B ( a , b ) がある。（ ただし、a ≠ 0 , b ≠ 0 ）
△ O A B の面積を求めよ。
a について場合分けする
ⅰ) a ＞ 0 のとき、
点A は x 軸の 正の領域 にあり、反時計回り に点 O , A , B が順にあるから、b ＞ 0
よって点B は 第１象限 にある。
OA ⊥ AB
OA ＝ a － 0
AB ＝ b － 0
( a － 0 ) × ( b － 0 ) × (1/2) より 1/2 a b
ⅱ) a ＜ 0 のとき、
点A は x 軸の 負の領域 にあり、反時計回り に点 O , A , B が順にあるから、b ＜ 0
よって点B は 第３象限 にある。
OA ⊥ AB
OA ＝ 0 － a
AB ＝ 0 － b
( 0 － a ) × ( 0 － b ) × (1/2) より 1/2 a b
ⅰ), ⅱ) より、 △ O A B の面積は 1/2 a b である。
確認
３点O ( 0 , 0 ), A ( a , 0 ), B ( a , b ) (ただし、a ≠ 0 , b ≠ 0) より
この３点からなる三角形の面積は
1/2 | a b － 0 ・a |
＝ 1/2 | a b |
a について場合分けする
ⅰ) a ＞ 0 のとき、
点A は x 軸の 正の領域 にあり、反時計回り に点 O , A , B が順にあるから、b ＞ 0
a b ＞ 0 になるから 1/2 | a b | ＝ 1/2 a b
ⅱ) a ＜ 0 のとき、
点A は x 軸の 負の領域 にあり、反時計回り に点 O , A , B が順にあるから、b ＜ 0
a b ＞ 0 になるから 1/2 | a b | ＝ 1/2 a b
☆ 座標に文字を使用
・ y ＝ 2 x 上に 点P がある。しかし、その座標は全く与えられていない。
それでも点P の座標が必要なとき、どうするか。
点P の x 座標を t とすると、
y ＝ 2 x に x ＝ t を代入すれば y＝ 2 t だから
P ( t , 2 t ) とおける。
○ y ＝ 2 x 上に 点A がある。点A から x 軸に垂線をひき その足をB とする。
線分AB を一辺とする正方形ABCD をつくる。
点A の x 座標を t とするとき、点C の座標を t を使って表せ。
次の [ １ ] ～ [ ５ ] に 適切な語句・式など を入れてください。
点A の x 座標を t とすると A [ １ ] となり、
点A から x 軸への垂線の足 B は [ ２ ] になる。
正方形 A B C D より [ ３ ] ＝ BC で、
AB ＝ [ ４ ] ＝ 2 t だから、C [ ５ ] となる。
‘ 文字を使うことにより、方程式ができる ’
次回 『 １次関数 ㉘ 』 線分比から面積比 につづきます。