『 １次関数 ⑭ 』 １点と傾き
‘ 公式は、できるかぎり導いて使えるようにするもの ’
○ 下の [ ① ] ～ [ ⑫ ] に 適切な式など を入れられますか。
１点 ( 1 , 3 ) を通り、変化の割合(傾き) が －2 の直線の方程式は。
この直線上の任意の点を ( x , y ) とする。ただし、点[ ( 1 , 3 ) ] は除く。
①
２点[ ( 1 , 3 ) , ( x , y ) ] の変化の割合は、x の増加量が[ x－1 ] で y の増加量が[ y－3 ] だから
② ③ ④
[ ( y－3 ) / ( x－1 ) ] である。
⑤
この直線の変化の割合(傾き) が [ －2 ] であるから、
⑥
[ ( y－3 ) / ( x－1 ) ＝－2 ] が成り立つ。
⑦
この等式を y について、等式変形します。
[ ( y－3 ) / ( x－1 ) ＝－2 ] ⑦
[ y－3 ＝－2 ( x－1 ) ] ⑧
[ y ＝－2 ( x－1 ) ＋ 3 ] ⑨
[ y ＝－2 x＋ 2 ＋ 3 ] ⑩
y ＝ －2 x ＋ 5
y ＝ －2 x ＋ 5 に [ x ＝ 1 ] を代入して計算すると [ y ＝ 3 ] になる。 ⑪⑫
よって、y ＝ －2 x ＋ 5 は 除いていた点[ ( 1 , 3 ) ] を満たす。 ① ( 必要十分すなわち同値 )
以上より、
１点 ( 1 , 3 ) を通り、変化の割合(傾き) が －2 の直線の方程式は、y ＝ －2 x ＋ 5 である。
具体例 ( 特殊例 ) から 抽象化 ( 一般化 )
○ 下の [ ① ] ～ [ ⑪ ] に 適切な語句 を入れられますか ？
１点 ( a , b ) を通り、変化の割合(傾き) が m の直線の方程式は。
この直線上の任意の点を ( x , y ) とする。ただし、点[ ① ]は除く。
２点 [ ② ] の変化の割合は、x の増加量が [ ③ ] で y の増加量が [ ④ ] だから
[ ⑤ ] である。
この直線の変化の割合(傾き) が [ ⑥ ] であるから、
[ ⑦ ] が成り立つ。
この等式を y について、等式変形します。
[ ⑦ ]
[ ⑧ ]
[ ⑨ ]
[ ⑨ ] に [ ⑩ ] を代入して計算すると [ ⑪ ] になる。
よって、[ ⑨ ] は 除いていた点[ ① ] を満たす。
以上より、
１点 ( a , b ) を通り、変化の割合(傾き) が m の直線の方程式は、[ ⑨ ] である。
このように、 ｛ 点の座標 ｝と｛ 変化の割合(傾き) ｝に
「数」 の替わりに 「文字」 を使うと、一般化でき公式を導けます。
次回 『 １次関数 ⑮ 』 １点と傾きの公式 につづきます。