『 １次関数 ⑬ 』 直線の方程式
‘ 直線の方程式を求めるのに変化の割合を使う ’
○ １点 ( 0 , 0 ) を通り、変化の割合(傾き) が 2 の直線の方程式は。
この直線上の任意の点を ( x , y ) とする。 ただし、点 ( 0 , 0 ) は除く。
２点 ( 0 , 0 ) , ( x , y ) の変化の割合は、x の増加量が x－0 で y の増加量が y－0 だから
( y－0 ) / ( x－0 ) である。
この直線の変化の割合(傾き) が 2 であるから、
( y－0 ) / ( x－0 ) ＝ 2 が成り立つ。
この等式を y について、等式変形します。
( y－0 ) / ( x－0 ) ＝ 2
y－0 ＝ 2 ( x－0 )
y ＝ 2 ( x－0 ) ＋ 0
y ＝ 2 x
（点 ( 0 , 0 ) が除かれているから、必要だが十分ではない）
y ＝ 2 x に x ＝ 0 を代入して計算すると y ＝ 0 になる。
よって、y ＝ 2 x は 除いていた点 ( 0 , 0 ) を満たす。 （必要十分 すなわち 同値）
以上より、
１点 ( 0 , 0 ) を通り、変化の割合(傾き) が 2 の直線の方程式は、y ＝ 2 x である。
[ 変化の割合は、どちらも同じ ]
上の 「 ２点 ( 0 , 0 ) , ( x , y ) の変化の割合は、x の増加量が x－0 で y の増加量が y－0 だから
( y－0 ) / ( x－0 ) である。」
の部分について
点 ( x , y ) は、任意の点なので、直線上で点 ( 0 , 0 ) の右側にも左側にも存在できる。
そこで、右側にあるとき と 左側にあるときのそれぞれの変化の割合を求める。
点 ( x , y ) が点 ( 0 , 0 ) の右側にあるとき、もとの点 (左側の点) は、点 ( 0 , 0 ) だから、
変化の割合は、( y－0 ) / ( x－0 ) である。
点 ( x , y ) が点 ( 0 , 0 ) の左側にあるとき、もとの点 (左側の点) は、点 ( x , y ) だから、
変化の割合は、( 0－y ) / ( 0－x ) である。
( 0－y ) / ( 0－x )
＝ (－1) ・ ( 0－y ) / (－1) ・ ( 0－x )
＝ ( y－0 ) / ( x－0 )
( 0－y ) / ( 0－x ) の分母・分子に－1 をかけると ( 通分と同じ ) ( y－0 ) / ( x－0 ) になるので、
結局、任意の点 ( x , y ) が、点 ( 0 , 0 ) の左側右側のどちらにあっても、
この２点間の変化の割合は変わらず ( y－0 ) / ( x－0 ) である。
○ 変化の割合 (傾き) が 2 で y の増加量が 6 のとき、x の増加量 を求められますか。
( 同形関係の問題 ： 速さが 2 km/時 で 6 km の距離を移動したときの 時間 を求められますか)
｛変化の割合｝＝｛y の増加量｝/｛x の増加量｝だから、
2 ＝ 6 /｛x の増加量｝
これを x の増加量 について解く
｛x の増加量｝＝ 6 / 2 （ ｛y の増加量｝は分子にくる ）
＝ 3
x の増加量 は 3 である。
( ｛速さ｝＝｛距離｝/｛時間｝だから、
2 ＝ 6 /｛時間｝
これを 時間 について解く
｛時間｝＝ 6 / 2 （ ｛距離｝は分子にくる ）
＝ 3
時間 は 3 時間である。 )
○ 下の [ ① ] ～ [ ⑫ ] に 適切な式など を入れられますか ？
１点 ( 1 , 3 ) を通り、変化の割合(傾き) が －2 の直線の方程式は。
この直線上の任意の点を ( x , y ) とする。ただし、点[ ① ]は除く。
２点 [ ② ] の変化の割合は、x の増加量が [ ③ ] で y の増加量が [ ④ ] だから
[ ⑤ ] である。
この直線の変化の割合(傾き) が [ ⑥ ] であるから、
[ ⑦ ] が成り立つ。
この等式を y について、等式変形します。
[ ⑦ ]
[ ⑧ ]
[ ⑨ ]
[ ⑩ ]
y ＝ －2 x ＋ 5
y ＝ －2 x ＋ 5 に [ ⑪ ] を代入して計算すると [ ⑫ ] になる。
よって、y ＝ －2 x ＋ 5 は 除いていた点[ ① ] を満たす。
以上より、
１点 ( 1 , 3 ) を通り、変化の割合(傾き) が －2 の直線の方程式は、y ＝ －2 x ＋ 5 である。
次回 『 １次関数 ⑭ 』 １点と傾き につづきます。